Интегральный признак Коши.

Лекция 6.

Тема: признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.

Признак Даламбера.

Теорема 1. Пусть дан знакоположительный ряд , для которого существует предел

1) Если q<1, то ряд сходится.

2) Если q>1, то ряд расходится.

3) Если q=1, то ряд может сходиться, а может и расходиться, то есть в этом случае надо проводить дополнительные исследования.

Доказательство: так как ,то это означает, что

–q| < , - < - q< , q- < <q+ ,

1. Пусть q<1. Выберем такое чтобы q+ <1, тогда для будем иметь < <q+ , < (q+ ).

Полагаем n=N+1, N+2,…, получим:

< (q+ ), < (q+ )< ,

< (q+ )< , ……..

Это означает, что члены ряда

+ +….. (1)

будут меньше соответствующих членов ряда

+ + +……… (2)

Ряд (2) является рядом из членов геометрической прогрессии со знаменателем q+ <1. Следовательно ряд (2) сходится, а по теореме сравнения сходится и ряд (1). Так ряд получится из ряда (1) прибавлением конечного числа первых членов, то ряд сходится. Таким образом, первое утверждение теоремы доказано.

2. Пусть q>1. Выберем так, чтобы q- >1. В этом случае выполняются неравенства

q- < или (q+ ) < . Отсюда следует, что общий член ряда к нулю не стремится. По необходимому признаку сходимости ряд расходится. Утверждение (2) доказано.

3. Приведем примеры рядов, для которых =1, и в тоже время один ряд сходится, а другой расходится.

Пример 1. , .

Данный ряд сходится, так как это ряд Дирихле с показателем S=2>1

Пример 2. , .

Ряд. является гармоническим рядом, который расходится.

Теорема доказана.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

Решение. ; ; = . По признаку Даламбера ряд сходится.

Признак Коши.

Теорема 2. Пусть дан знакоположительный ряд , для которого существует предел

1) Если q<1, то ряд сходится

2) Если q>1, то ряд расходится

3) Если q=1, то ряд может сходиться, а может и расходиться, т.е. надо проводить дополнительные исследования.

В дальнейшем понадобится следующее равенство

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение: По признаку Коши данный ряд сходится.

Интегральный признак Коши.

Теорема 3. Пусть дан знакоположительный ряд , для которого существует функция, удовлетворяющая условиям:

1) f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на промежутке [1, )

2) f(x)

3) f(n)=r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Тогда данный ряд сходится или расходится одновременно со сходимостью или расходимостью несобственного интеграла

Доказательство. 1)Пусть интеграл сходится.

+ + + +M .

Последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху, поэтому ряд сходится.

2) Пусть интеграл расходится.

Частичная сумма + + , равна площади ступенчатой фигуры от 1 до n+1 следовательно, < ак как интеграл расходится, то = . Поэтому последовательность частичных сумм ряда , неограничена сверху. Следовательно ряд расходится.