Интервал сходимости степенного ряда и его нахождение.

Лекция 8

Тема: Степенные ряд. Теорема Абеля. Интервал сходимости степенного ряда и его нахождение.

Степенные ряды. Теорема Абеля

Функциональный ряд вида:

называется степенным рядом c₀,c₁,…,c_n,…-коэффициенты ряда. Коэффициенты ряда будем считать действительными числами

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке x₁, , то он сходится и при том абсолютно в интервале .

Доказательство. По условию степенной ряд сходится в точке , т.е. сходится ряд . По необходимому признаку сходимости общий член последнего ряда стремится к нулю, т.е. . Отсюда следует, что выполняется неравенство . Теперь рассмотрим ряд , составленный из модулей членов данного степенного ряда. Имеем:

Так как по условию , то . Ряд является рядом из членов геометрической прогрессии со знаменателем , поэтому он сходится. По теореме сравнения сходится и ряд . Следовательно, удовлетворяющего неравенству ряд сходится и притом абсолютно. ▼

Интервал сходимости степенного ряда и его нахождение.

Рассмотрим степенной ряд . Отметим, что степенной ряд всегда сходится в точке x=x₀. При фиксированном x x₀ряд будет числовым и к ряду , составленному из модулей членов данного ряда, можно применить либо признак Даламбера, либо признак Коши.

1) Применим признак Даламбера к ряду

. получается из заменой n на n+1.

Мы предположим, что существует предел .По признаку Даламбера при ряд сходится, а при расходится.

Следовательно, при ряд сходится, а при ряд расходится.

В концевых точках интервала ряд может сходиться, а может и расходиться.

Интервал ) называется интервалом сходимости степенного ряда, R-радиус сходимости степенного ряда.

2) Применим признак Коши к ряду

Предположим, что существует предел . По признаку Коши при ряд сходится, а при расходится.

Отметим, что в каждой точке интервала сходимости ряд сходится, а вне интервала сходимости ряд расходится. В концевых точках интервала сходимости ряд может сходиться, а может и расходиться, в этом случае следует проводить дополнительные исследования.

Пример 1. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд , который является знакоположительным рядом и к нему можно применить признак Даламбера.