Теорема 3.1.2 (нерівність Коші-Буняковського). Для кожної пари векторів х і у з евклідового простору V.

 

Назвемо кутом між векторами х і у таке дійсне число а, для якого .

Твердження 3.1.3. Довжина ((х)) вектора х має такі властивості:

1) = 0 ó x = 0;

2) = , E R;

3) (нерівність трикутника).

Вектори х і у евклідового простору V називають ортогональними, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю. Систему ненульових векторів евклідового простору називають ортогональною, якщо кожні два вектори цієї системи ортогональні.

 

Теорема 3.1.4 (про ортогональність). Нехай а ,…,а – лінійно незалежна система векторів евклідового простору V. Тоді для кожного і, 1 i k існує ортогональна система векторів b1,…,bi така, що лінійна оболонка L(b ,…,b ) дорівнює L(а ,…,a ).

Теорема 3.1.5. Ортогональна система векторів лінійно незалежна.

Означення 3.1.5. База а₁,…ап скінченно вимірного лінійного простору називається ортогональною, якщо кожні два вектори цієї бази ортогональні.

 

Теорема 3.1.6. У кожному скінченновимірному евклідовому просторі існують ортогональні бази.

Означення 3.1.6. Систему веторів е ,…,е називають ортонормованою, якщо ця система ортогональна і = 1 для всіх і 1 .

 

Для ортонормованих векторів е ,...,е

якщо:

де - символ Кронекера

 

Теорема 3.1.7. У кожному скінченнвимірному евклідовому просторі існують ортонормовані бази.

 

Теорема 3.1.8. Скалярний добуток векторів евклідового простору дорівнює сумі добутків відповіднх координат цих векторів стосовно будь-якої ортонормованої бази.

 

Унітарні простори

Означення 3.2.1. Лінійний простір V над полем комплексних чисел С називають унітарним простором, якщо в ньому визначено скалярний добуток, тобто відображення V V C, яке кожній впорядкованій парі векторів а,b V ставить у відповідність комплексне число (a, b) C. Це відображення задовольняє такі аксіоми:

1) (риска означає перехід до комплексно спряженого числа);

2)

3) ;

4) ;

 

З аксіом унітарного простору випливають такі наслідки:

а)

Справді,

б)

Справді,

Вектори унітарного простору V Називаються ортогональними, якщо (х, у) = 0.

В унітарному просторі V можна означити довжину вектора . Довжина має ті самі властивості, що й довжина вектора у евклідовому просторі.

 

Основні приклади унітарних та евклідових просторів:

1. Чи можна в лінійному просторі матриць М_2×2 (ℝ) ввести скалярний добуток за формулою (А, В)= a₁a₂-b₁b₂+c₁c₂-d₁d₂, де

a₁ b₁

А = c₁ d₁

 

a₂ b₂

B = c₂ d₂

 

Розв’язання:

Не можна, оскільки не виконується аксіома 5 скалярного добутку. Дійсно для матриці А = матимемо (А, А)=1-1=0, хоча А¹0.

2. Довести, що в просторі Р₂(х) многочленів, із дійсними коефіцієнтами зі степенем не вищем від 2, скалярний добуток можна ввести за формулою (f, g)=f(-1)g(-1)+f(0)g(0)+f(1)g(1).

1) Перевіримо, що (αf, g)=α(f, g), де α є ℝ

2) Для довільного многочлена f(x) маємо (f, f)=f²(-1)+f²(0)+f²(1) ≥0

3) Покажемо, що якщо (f, f)=0, то f=0. Нехай (f, f)=0, тобто

f²(-1)+f²(0)+f²(1)=0. Звідси отримаємо, що f(-1)=f(0)=f(1)=0. Оскільки степінь многочленна не перевищує 2, то він має не більш ніж два корені. Отже, f(x)=0, тобто f(x) –нульовий елемент простору Р₂(х).

 

Нормою вектора є L називається число || a || ≝ -норма

Зауваження:

|| a ||=0 ⇔ a=о_L

Нерівність Коші Буняковського

Для будь-яких векторів унітарного простору модуль їх скалярного добутку ≤ за їх норми: | (a, b) |=||a||×||b||

Доведення:

1) b=o_L (a, b)=0, ||a||×||b||=0, 0=0

2) b¹o_L (a-αb)=(a-αb, a-αb)≥0

" α є С

(a, a)-(a, αb)-(αb, a)+(αb, αb)≥0

|| a ||×|| b ||≥| (a, b) |

Рівність у нерівності Коші Буняковського буде досягатись ⇔ коли вектори і -лінійно залежні. Тому доведення другої частини базується на розгляді того, що вектори і лінійно залежні a=αb і лінійно залежні, якщо "α a-αb¹ , тобто (a-αb, a-αb)≥0

Приклад 4. Довести нерівність трикутника.

 

Доведення:

Використовуючи нерівність Коші - Буняковського

,

одержимо

Залишається добути квадратний корінь.

 

Приклад 5. Довести теорему Піфагора: якщо вектори та ортогональні, то .

 

Доведення:

Оскільки вектори , ортогональні, то . Отже,

.