Лінійна залежність та незалежність векторів.

Індивідуальне завдання №2

ЛІНІЙНІ ПРОСТОРИ.

Множина називається лінійним простором над полем Р, якщо на цій множині визначена алгебраїчна операція, яка кожній парі елементів ставить у відповідність елемент , а також для кожних , визначено добуток . Ці операції задовольняють такі аксіоми:

1.Операція + є асоціативною, тобто .

2. У множині існує нейтральний елемент відносно операції +, тобто .

3. У множині для будь-якого її елемента існує обернений елемент відносно додавання, тобто .

4. Операція + є комутативною, тобто .

5. , .

6. , .

7. , .

8.

Елементи множини , звичайно, називають векторами, елементи поля Р – скалярами.

Приклад 2.1. Розглянемо множину R₊ додатніх чисел з наступними операціями: додавання – для довільних a, b є R₊ їх сума a+b=a´b; множення на скаляр з поля Р – для довільних a є R₊ і λ+P їх добуток λ´a=a. Чи утворює множина R₊ з вказаними операціями лінійний простір?

Розв’язання: Відмітимо, що результат виконання обох операцій належить до множини R₊. Це випливає з властивостей операції множення додатніх чисел і степеня з додатньою основою.

Перевіримо виконання восьми аксіом означення лінійного простору

1. " а, b є R₊ a+b=b+a, тобто a´b= b´a, що є справедливе згідно з комукаттивністю операції множення дійсних чисел.

2. " a, b, c є R₊ (a+b)+c=a+(b+c), тобто (a´b)´c=a´(b´c), що є правильним згідно з асоціативним законом операції множення дійсних чисел.

3.$ о є R₊, що a+o=a, тобто a´o=a, що, як випливає з властивостей операції множення дійсних чисел.

4. " a є R₊, $ -a є R₊, що а+(-а)=о, тобто а´(-а)=1. Це можливо Û, коли –а= є R₊.

5. (" a є R₊) і (" λ, m є P): {(λ+m)´a=λa+ ma}, тобто а = а.

6. (" a, b є R₊) і(" λ є P): {λ´(a+b)=λa+ λb}, тобто (a´b)=a´b

7. (" a є R₊) і (" λ, m є Р): { λ(ma)=(λm)a}, тобто (а)=а

8. " а є R₊: 1´a=a, тобто а¹=а, що є правильним згідно з означенням степеня дійсного числа.

Таким чином виконуються всі аксіоми.

Отже, згідно з означенням лінійного простору множина R₊ з вказаними двома операціями утворюють лінійний простір.

Прикладами лінійних просторів також є: числовий n-вимірний простір над полем дійсних чисел, множина матриць порядку з елементами з поля Р, множина многочленів степеня не вищого від .

ЛІНІЙНА ЗАЛЕЖНІСТЬ ТА НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ВЕКТОРІВ.

Систему векторів а₁, а₂, … а_n є L називають лінійно залежною, якщо існують скаляри не всі рівні нулю, такі що . У протилежному випадку вектори а₁, а₂, … а_n є L називають лінійно незалежними. Інакше кажучи, вектори а₁, а₂, … а_n є L лінійно незалежні, якщо лише тоді, коли .

Вираз називають лінійною комбінацією векторів а₁, а₂, … а_n. Сукупність всіх лінійних комбінацій векторів а₁, а₂, … а_n називають лінійною оболонкою цих векторів.

Твердження 1. Якщо система векторів лінійного простору містить нуль-вектор, то вона лінійно залежна.

Твердження 2. Якщо підсистема системи векторів є лінійно залежною, то і сама система є лінійно залежною.

Твердження 3. Кожна підсистема лінійно незалежної системи векторів є лінійно незалежною.

Твердження 4. Система векторів лінійного простору лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли один з цих векторів є лінійною комбінацією решти векторів.

Приклад 2.2. Довести, що система функцій лінійного простору дійсних функцій визначених на є лінійно незалежною.

Розв’язання. Припустимо, що , де . Взявши , одержимо . Тому . Для з останньої рівності одержимо . І так далі, підставляючи замість послідовно значення , одержуємо, що . Це означає, що система функцій є лінійно незалежною.