Відстань між двома точками

8. Знайти відстань між двома точками: 1) (5, 7) і (2, 3); 2)
(– 10, 8) і (2, 3); 3) (0, –3) і (– 4, 0); 4) (4, –5) і (–2, 3); 5) (– 10, 10) і (– 2, –5); 6) (m, n sina) i (m cosa, n).

9. Знайти відстань між початком прямокутної системи координат і точкою: 1) (–3, 4); 2) (2½, 6); 3) (а + b, a – b).

10. Знайти довжини сторін трикутника, координати вершин якого: 1) (4, – 5), (– 1, 7), (– 2, 3); 2) (2, –3), (8, 5), (– 7, – 3);
3) (0, 0), (15, 8), (5, –7); 4) (3, 0), (3, 11), (– 9, 16).

11. Сторони прямокутника, які дорівнюють 8 і 15, є осями координат. Знайти довжину його діагоналі.

12. Визначити довжини сторін чотирикутника, якщо координати його вершин такі: (1½, 2), (2, 2), (– 3, –10), (– 4½, – 6).

13. Знайти довжини діагоналей чотирикутника, коли відомі координати його вершин: (3, 5), (6, 9), (11, – 1), (– 3, – 3).

14. Знайти у, якщо відстань точки (10, у) від точки (2, – 7) дорівнює 17.

15. Координати кінців основи рівнобедреного трикутника (0, 8) і (4, 5). Визначити довжини сторін трикутника, якщо абсциса вершини дорівнює нулю.

16. Точка, ордината якої – 2, однаково віддалена від точок (15, 3) і (8, 10). Визначити абсцису цієї точки.

17. Знайти координати точки, однаково віддаленої від точок
(– 4, 12), (8, – 4), (– 6, –2).

Поділ відстані між двома точками пополам

18. Знайти координати середини відрізка прямої, що сполучає точки: 1) (8, 3) і (4, – 5); 2) (– 5, 2) і (– 2, –4); 3) (1½,0) і (– 2½, 5).

19. Відстань між точками (3, 0) і (5, – 4) поділено на 4 рівні частини. Визначити координати точок поділу.

20. Вершинами трикутника є точки з координатами: (4, – 3),
(– 3, –5), (0, 4). Знайти координати середин сторін трикутника.

21. Відстань між точками (х, 4) і (– 6, у) поділяється в точці
(– 1, 1) пополам. Знайти ці точки.

22. Відстань між точками (– 5, 2) і (х, у) поділяється в точці
(– 1½, – 1) пополам. Знайти координати х та у другої точки.

23. Вершинами трикутника є точки з координатами: (7, 4),
(– 4, 6), (2, – 5). Знайти координати середин його медіан.

24. Координатами двох сусідніх вершин паралелограма є точки: (2, – 3) і (– 3, 4), а діагоналі його перетинаються в початку координат. Знайти координати двох інших вершин паралелограма.

Перетворення координат

25. Початок координат перенесено в точку (–2, 3) без зміни напряму осей. Знайти нові координати точки (4, –5).

26. Якими будуть координати точки (– 3, – 1), якщо початок координати перенести в точку (3, – 2), не змінюючи напрямів осей?

27. Рівняння деякої кривої у прямокутній системі координат подається так: . Якого вигляду набере це рівняння, якщо без повороту осей перенести початок координат у точку (2, 3)?

28. Дано дві прямокутні системи координат, відповідні осі яких паралельні одна одній, і координати (2, 5), (– 1, 0), (– 2, – 4) трьох точок у першій системі. Знайти координати двох перших із цих точок у другій системі, знаючи, що (1, 1) — координати третьої.

Нехай полюс О полярної системи збігається з початком прямокутної системи, а полярна вісь збігається з додатно напрямленою віссю абсцис. За цих умов розв’язати задачі 29—31.

29. Знайти прямокутні координати точок, полярні координати яких r і j відомі: 1) r = 3, j = p/3; 2) r = 5, j = p/4; 3) r = 4,
j = p/2; 4) r = 2, j = p; 5) r = 2, j = ½p; 6) r = 4, j = p.

30. Рівняння, записані в полярній системі координат, подати у прямокутних координатах: 1) r = 3cos t; 2) r ²sin2 t = a ²;
3) r ² = a ²cos2 t; 4) r = a (1 + cos t); 5) r ²cos2 t = a ².

31. Рівняння, записані у прямокутній системі координат, подати в полярних координатах: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Мішані задачі на площині

32. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку (– 2, 1) і нахилена під кутом 30° до прямої х – 2 у = 3.

33. Скласти рівняння прямої, що утворює кут 45° із прямою
3х + у – 2 = 0 та проходить через точку перетину цієї прямої з віссю ординат.

34. На прямій 3х – 3у – 7 = 0 знайти точку, рівновіддалену від точок (3, – 4) і (7, 2).

35. На прямій 2у – 3х = 5 узято відрізок, кінці якого мають абсциси –1 і 5, а на прямій 3у + 4х =2 — відрізок, кінці якого мають ординати – 2 і 6. На кожному із цих відрізків побудовано по рівнобедреному трикутнику, що мають спільну вершину. Знайти координати цієї вершини.

36. Знайти рівняння прямої, що сполучає основи перпендикулярів, опущених із початку координат на прямі і .

37. Дано прямі і . Записати рівняння перпендикулярів до кожної із цих прямих у точці їх перетину.

38. Дві непаралельні сторони паралелограма подаються рівняннями і , а його діагоналі перетинаються в точці (5, 5). Знайти рівняння двох інших його сторін.

39. Визначити координати точки, віддаленої від прямої на відстані, що дорівнює 5, і рівновіддаленої від точок (3, – 2) і (– 5, 4).

40. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку (12, 4), коли відомо, що різниця відстаней цієї прямої від точок (8, – 9) і (– 7, 7) дорівнює 9.

41. Сторони трикутника подаються рівняннями , і . На першій стороні знайти координати точки, рівновіддаленої від двох інших сторін.

42. Вершинами трикутника є точки А (1, 2), В (– 1, 1) і
С(–2, 3). Знайти рівняння перпендикуляра, поставленого із середини сторони АС, і точку перетину його з прямою, що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.

43. Знайти рівняння бісектриси кута, утвореного прямими і .

44. Діагоналі ромба дорівнюють 8 і 15. Приймаючи їх за осі координат, знайти відстань між протилежними сторонами.

45. Висота рівнобедреного трикутника дорівнює 12, а основа 10. Узявши ці дві прямі за осі координат, знайти рівняння і довжини перпендикулярів, опущених на бічні сторони із протилежних вершин.

46. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 і 8. Узявши їх за осі координат, знайти довжини перпендикулярів, опущених із вершин на медіани, проведені до цих катетів.

47. Висоти трикутника, рівняння двох сторін якого і , перетинаються в початку координат. Знайти рівняння третьої його сторони.

48. На прямій знайти точку, що задовольняє таку умову: прямі, проведені через неї з точок (2, 3) і (7, 5), утворюють із даною прямою рівні кути.

49. Через точку М(2, 1) провести пряму так, щоб перпендикуляри, опущені на неї з точок А(5, 2) і В(7, 5), були рівні між собою.

50. Із точки, узятої на прямій , проведено дві взаємно перпендикулярні прямі. Знайти рівняння цих прямих, якщо одна з них проходить через точку (– 3, – 3), а друга — через точку (4, 6).

51. Координати кінців однієї зі сторін квадрата: (–3, –3) і
(5, 3). Знайти рівняння його сторін.

52. Координати кінців однієї діагоналі квадрата: (– 1, 3) і
(3, 1). Знайти рівняння його діагоналей і сторін.

53. Сторона квадрата, одна з вершин якого міститься в початку координат, дорівнює а й утворює кут j із віссю абсцис. Записати рівняння сторін і діагоналей цього квадрата.

54. Дві паралельні сторони ромба подаються рівняннями і , а одна з діагоналей — рівнянням . Скласти рівняння двох інших сторін.

55. Дві протилежні вершини ромба містяться в точках А(3, 4) і С(1, – 2). Сторона АВ нахилена до осі абсцис під кутом 45°. Знайти рівняння всіх сторін ромба.

56. Точки перетину прямої з осями координат і центр кола є вершинами трикутника. Знайти координати точки перетину двох його медіан і показати, що й третя медіана проходить через цю саму точку.

57. Скласти рівняння дотичної до еліпса , яка відтинає на координатних осях рівні відрізки.

58. Дано еліпс . Знайти рівняння дотичної до нього, паралельної прямій .

59. Знайти рівняння еліпса, осі якого паралельні осям координат, коли відомі рівняння дотичних до нього прямих: і .

60. З точки (10, 9) проведено дотичні до конічного перерізу . Знайти: 1) рівняння хорди, що сполучає точки дотику; 2) рівняння зазначених дотичних; 3) площу трикутника, який визначається цими прямими.

61. Дано координати вершин трикутника А (1, 2), В (– 1, 1) і С (– 2, 3). Знайти рівняння перпендикуляра, поставленого із середини сторони АС, і точку перетину його з прямою, що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.

62. Знайти площу чотирикутника, вершинами якого є центри двох кіл і , а також точки їх перетину.

63. До еліпса і кола проведено спільну дотичну в першому квадранті. Під яким кутом цю дотичну видно з початку координат? Виконати обчислення при ; .

64. З точки М (5, 3) до еліпса проведено дві дотичні. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки М на пряму, яка сполучає точки дотику.

65. До лінії проведено нормаль, що перпендикулярна до прямої . Знайти відстань від центра кривої до цієї нормалі.

66. До лінії проведено дотичну паралельно прямій . Знайти кут, утворений цією дотичною з діаметром, проведеним через точку дотику.

67. Скласти рівняння дотичної до еліпса , якщо діаметр, який проходить через точку дотику, паралельний прямій .

68. З точки (1, 2) проведено дотичні до еліпса . Знайти відстань від даної точки до прямої, що сполучає точки дотику, і обчислити площу трикутника, вершинами якого є дана точка і точки дотику.

69. Через точки перетину кіл і провести нове коло так, щоб центр його лежав на прямій .

70. Через фокус F параболи проведено пряму з кутовим коефіцієнтом , яка перетинає директрису параболи в точці N. Знайти кут між дотичними, проведеними до параболи через точку N, і показати, що хорда, яка сполучає точки дотику, проходить через фокус і перпендикулярна до прямої FN.

71. Фокуси еліпса містяться в точках перетину кіл і , а ексцентриситет дорівнює 0,6. Знайти відстань від кожної з точок перетину директрис із великою віссю еліпса до дотичної, кутовий коефіцієнт якої дорівнює ексцентриситету.

72. Вершина прямого кута трикутника лежить на прямій , а дві інші вершини містяться в точках (2, – 3) і
(4, 1). Обчислити площу трикутника.

73. Відрізок прямої є спільною хордою кола та іншого кола, центр якого лежить на осі абсцис. Знайти рівняння другого кола.

74. До кола, яке проходить через точки А (5, 7), В (2, – 2) і
С (– 1, 7), із точки D (7, 18) проведено дві дотичні. Визначити площу трикутника, утвореного цими дотичними та прямою, що сполучає точки дотику.

75. У точках перетину еліпса з прямою до нього проведено дві дотичні. Знайти відстань між точками перетину цих дотичних із віссю абсцис, а також відстані правого фокуса еліпса до цих дотичних.

76. Дано канонічний переріз . Знайти рівняння дотичних до цієї кривої, проведених із точки (5, 12), а також рівняння хорди, що сполучає точки дотику.

77. Через фокус параболи проведено пряму під кутом 60° до осі абсцис. У точках перетину цієї прямої з параболою до останньої проведено дотичні. Знайти відстань від точки перетину дотичних до зазначеної прямої і обчислити кут між дотичними.

78. Через дві точки А (1, 3) і В (2, 2) проведено коло із центром на прямій . Знайти відстань від центра цього кола до хорди АВ.

79. З точки перетину прямих і проведено дотичні до еліпса . Знайти рівняння дотичних і довжину відрізка прямої, що сполучає точки дотику.

80. До параболи проведено дотичні з точки, що лежить на її директрисі і має ординату, яка дорівнює 5. Визначити кут, утворений цими дотичними, і показати, що пряма, яка сполучає точки дотику, проходить через фокус параболи.

81. До еліпса проведено дотичні, кутовий коефіцієнт яких дорівнює ексцентриситету еліпса. Знайти відстань між дотичними.

82. Дано коло . Скласти рівняння його дотичної, проведеної паралельно прямій . Знайти точки перетину даного кола з осями координат (виконати відповідний рисунок).

83. З точки (– 4, 6) проведено дотичні до параболи . Визначити відстань від цієї точки до хорди, яка проходить через точки дотику.

84. У точках перетину А та В кола з прямою проведено дотичні. Визначити точку перетину дотичних і показати, що лінія, яка сполучає цю точку з центром даного коло, проходить через середину хорди АВ.

85. До еліпса проведено дві дотичні, паралельні прямій . Визначити відстань між ними і показати, що лінія, яка сполучає точки дотику, проходить через центр еліпса.

86. Через точку (– 4, 2) провести пряму на відстані від точки (7, – 1).

87. Відомо, що ексцентриситет еліпса дорівнює , а відстань між фокусами — 10. Визначити радіуси-вектори точки, абсциса якої додатна, а ордината дорівнює .

88. До еліпса, відстань між директрисами якого становить 18, а ексцентриситет дорівнює , проведено дотичну в його точці
(– 1, ). Знайти довжини перпендикулярів, проведених з фокусів еліпса до цієї дотичної.

89. З точки (1, 2) проведено дотичні до еліпса . Знайти рівняння хорди, що сполучає точки дотику, і рівняння кола, побудованого на цій хорді як на діаметрі.

90. З точки А (3, 4) проведено дотичні до еліпса . Знайти рівняння кола, яке проходить через точку А та точки дотику.

91. Знайти до еліпса дотичну, щодо якої виконується умова: різниця довжин перпендикулярів, проведених до неї з фокусів, дорівнює половині відстані між фокусами.

92. Знайти відстань між дотичними до еліпса , паралельними прямій .

93. Дано еліпс . Знайти його дотичні, паралельні прямій, яка сполучає точки перетину кіл і .

94. Дано координати вершин трикутника А (1, 2), В (– 1, 1) і
С (–2, 3). Знайти рівняння перпендикуляра, поставленого із середини сторони АС, і точку перетину його з прямою, що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.

95. Дано два кола, заданих рівняннями і . Знайти площу чотирикутника, вершинами якого є центр цих кіл і точки їх перетину. Записати рівняння спільної хорди зазначених кіл і довести, що вона перпендикулярна до лінії центрів.

96. Дано два кола, рівняння яких і . До першого з них у точці перетину цих кіл проведено дотичні. Знайти відстань від точки перетину цих дотичних до спільної хорди кіл.

Поверхні другого порядку

1. Обчислити визначник , де а, b і с — косинуси кутів, утворених прямою з осями прямокутної системи координат.

2. Скориставшись теорією проекцій, обчислити кут між протилежними ребрами правильного тетраедра.

3. У паралелепіпеді, усі ребра якого дорівнюють 1, дано кути = 60°, = 120° і = 120°. Визначити довжину діагоналі АD та її кут зі стороною ОС (див. рисунок).

4. Знайти відстань між точками
М ₁(2, 1, 2) і М ₂(1, 2, 1) у прямокутній системі координат

5. Знайти відстань між точками
М ₁(1, 1, 2) і М ₂(2, 1, 1), якщо дано кути між осями координат: = 60°, = = 90°.

6. Знайти косинус кута між прямими, розміщеними в площинах, які поділяють відповідно кути Ð xOy і Ð zOx пополам. Осі координат прямокутні.

7. Знайти об’єм паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють 1, 1 і 2, а плоскі кути, що утворюють деякий тригранний кут, становлять 120°, 150° і 60°.

8. Знайти косинуси кутів між діагоналями куба, напрямленими так, що проекції їх на деяке ребро збігаються.

9. Знайти косинуси кутів, утворених діагоналями прямокутного паралелепіпеда OAEDCBGF зі сторонами ОD, ОА і ОС завдовжки відповідно 1, 2 і 3, якщо діагоналі й сторони напрямлені так, як зображено на рис. 3.70.

10. Знайти кути між діагоналями паралелепіпеда, заданого умовою поперед­ньої задачі.

11. На відрізку прямої, що сполучає точки М ₁(1, 2, – 1) і М ₂(– 1, 2, 1), знайти точку М, яка лежить між точками М ₁ і М ₂, причому .

12. Знайти точку М на прямій, яка сполучає точки М ₁(1, 2, – 1) і М ₂(–1, 2, 1), що не лежить між точками М ₁ і М ₂, коли .

13. Дано тетраедр, ребро якого дорівнює 1. Узявши за координатні осі ребра цього тетраедра, що виходять з однієї вершини, знайти координати середин його ребер і проекцій вершин на протилежні грані.

14. Знайти точки А, В, С на трьох координатних площинах так, щоб трикутна піраміда тетраедр ОАВС (О початок координат) була правильною з довжиною ребра l.

15. Косинуси кутів між старими і новими осями прямокутної системи координат наведено в таблиці. Початок координат нової системи міститься в точці (1, 2, 3). Скласти формули переходу від старих координат до нових.

Старі координати	Нові координати
Х 1	Y 1	Z 1
X
Y
Z

16. Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від точок М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) і М ₁(х ₁, у ₁, z ₁) у прямокутній системі координат.

17. Записати рівняння сфери із центром у точці (2, 1, 0) і радіусом, що дорівнює 2.

18. Знайти координати центра та радіус кулі .

19. Якими кривими є лінії перетину циліндрів і ?

20. Знайти точки перетину поверхонь:

а) , , ;

б) , , .

21. Знайти площину, що ділить пополам кут між площинами , і лежить у тому ж куті між ними, в якому початок координат.

Площина

22. Узявши ребра тетраедра за координатні осі, знайти рівняння площин, кожна з яких проходить через ребро і середину протилежного ребра. Довести, що ці шість площин перетинаються.

23. Знайти рівняння площини, що проходить через точки

а) М ₁(2, 1, 1), М ₂(–1, 2, 1) і М ₃(2, 2, 1);

б) М ₁(1, 1, –3), М ₂(2, 0, – 3), М ₃(1, –1, –1).

24. Знайти рівняння ребер тетраедра з вершинами в точках М ₁(1, 1, 1), М ₂(–1, 1, 1), М ₃(1, –1, 1) і М ₄(1, 1, –1).

25. Знайти площину, що утворює на осях відрізки завдовжки 2, 3 і 4.

26. Знайти відрізки на осях, що визначають площину .

27. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку
М (1, 2, – 1) і утворює на осях Ох і Oz відрізки, що дорівнюють відповідно 2 і 1.

28. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку М (1, 2, 1) і утворює на осях Ох і Оy відрізки, які дорівнюють відповідно 2 і – 3.

29. Знайти косинуси лінійних кутів тих двогранних, які утворені площиною з координатними площинами, та косинуси кутів зазначеної площини і з осями координат.

30. Знайти кути, утворені перпендикуляром до площини з осями координат.

31. Через точку М (1, – 1, 1) провести площину перпендикулярно до прямої , .

32. Через точки М (1, 1, 1) і М ₁((2, 2, 2) провести площини перпендикулярно до площини .

33. Через точки М (2, 0, 0) і М ₁(0, 2, 0) провести площини під кутом 45° до площини .

34. З’ясувати, як розміщені точки М ₁(2, 1, 1), М ₂(2, 1, 3) — по один бік від площини або по різні її боки.

35. Визначити, чи лежить початок координат всередині тетраедра, заданого площинами , , , .

36. Знайти об’єм тетраедра, заданого умовами попередньої задачі.

37. Обчислити об’єм тетраедра з вершинами в точках М ₁(1, 1, 1), М ₂(– 1, 1, 1), М ₃(1, – 1, 1), М ₄(1, 1, –1).

38. Знайти відстань від точки М (2, 1, 1) до площини .

39. Знайти відстань від точки М (–1, 2, 1) до площини .

40. Знайти відстань від точки М (х ₀, у ₀, z ₀) до площини , знаючи, що це точка, відокремлена від початку координат даною площиною.

41. Знайти відстань між паралельними площинами , .

42. Знайти відстань між паралельними площинами , .

43. На осі Oz знайти точку, рівновіддалену від площин і .

44. Знайти площину, рівновіддалену від двох паралельних площин , .

45. На лінії перетину площин , знайти точку, рівновіддалену від паралельних площин , .

46. Знайти об’єм тетраедра , , , .

47. Через точку перетину площин , , провести площини паралельно площині , не знаходячи зазначеної точки.

48. Знайти рівняння сфери з центром у точці (3, – 2, 30), коли відоме рівняння дотичної площини .

49. Знайти площу трикутника, вершини якого М (1, –1, 1), М ₁(2, 1, – 1) і М ₂(– 1, – 1, – 2).

50. Знайти площу трикутника, вершини якого М ₁(1, – 1, 2), М ₂(– 1, 2, 1), М ₃(–1, 1, 1).

51. Відомо, що площини , , перпендикулярні до однієї площини. Знайти l за умовою, що площини перетинаються по прямій.

52. Знайти точку перетину площин , , .

53. Через точку (1, 4, 1) провести площину, дотичну до парабол у = 0, і , .

54. Знайти площини, які проектують прямі і на площини координат.

55. Знайти площини, які проектують пряму , на площини координат. Подати рівняння прямої у вигляді пропорції.

56. Подати у канонічному вигляді рівняння прямих:

57. Знайти кути, утворені прямими

і

з осями координат і між собою.

58. Знайти кут між прямими

і

59. Знайти кут між прямими

і

60. Знайти кут j між прямою , і площиною .

61. Провести пряму через точки М ₁(2, 1, 2), М ₂(1, 2, 1).

62. Провести пряму через точки М ₁(3, 0, 1), М ₂(– 1, 2, 2).

63. Провести пряму через точки: 1) М (2, 1, 3), М ₁(1, 1, 2);
2) М (1, 2, 1), М ₁(1, 2, 3).

64. Провести пряму через точки: 1) М (1, 2, 1), М ₁(1, 3, 2);
2) М (2, 1, 1), М ₁(3, 1, 1).

65. Через точку М (1, 2, 1) провести пряму, перпендикулярну до площини .

66. Через точку М (– 1, 1, 2) провести пряму, перпендикулярну до площини .

67. Через точку М (1, 2, 1) провести площину, перпендикулярну до прямих:

1) ; 2)

68. Через точку М (2, 2, 1) провести площину, перпендикулярну до прямої , .

69. Через точку М (2, 1, 1) провести прямі, паралельні прямим

,

70. Через точку М (1, 2, 1) провести прямі, паралельні прямим

71. Через точку М (–1, 2, 1) провести пряму, паралельну площинам , .

72. Через точку М (2, 1, 1) провести пряму, паралельну прямій , .

73. Через точку М (1, 1, 2) провести площину, паралельну прямим , .

74. Через точку М (1, 2, 1) провести площину, паралельну прямим

75. Через точку М (2, 1, 1) провести площину, паралельну прямим

.

76. Через пряму , і точку
М (2, 1, 1) провести площину.

77. Через пряму , і точку М (1, 1, 2) провести площину.

78. Через пряму , провести площину, перпендикулярну до площини .

79. Через пряму провести площину, перпендикулярну до площини .

80. Через пряму провести площину, паралельну прямій , .

81. Провести площину через точки М ₁(2, 1, 1), М ₂(– 1, 2, 2), М ₃(4, 3, – 1).

82. Знайти рівняння проекції прямої , на площину .

83. Знайти точку перетину прямої з площиною .

84. Знайти проекцію точки М (2, 1, 1) на пряму .

85. Знайти проекцію точки М (– 1, 2, 0) на площину .

86. Визначити l у рівнянні прямої так, щоб ця пряма перетинала пряму .

87. Знайти прямі, що належать площині та перпендикулярні до прямої яка лежить у тій самій площині.

88. Через точку перетину площини з прямою провести пряму, що лежить у цій площині й перпендикулярна до даної прямої.

89. Знайти рівняння та довжину перпендикуляра, опущеного з точки М(0, –1, 1) на пряму , .

90. Знайти рівняння спільного перпендикуляра до прямих

і

91. Знайти рівняння спільного перпендикуляра до прямих

х = 0, у = z і z = 0, x + y –1 = 0.

92. Знайти найкоротшу відстань між прямими

та .

93. Знайти найкоротшу відстань між прямими

та

94. Знайти найкоротшу відстань між прямими , та рівняння їх спільного перпендикуляра.

95. Записати рівняння проекцій перпендикуляра з точки М (2, 1, 1) на площину , на площини хy, xz, yz.

96. Через точку М (1, – 1, 1) провести пряму так, щоб середина її відрізка між площинами і лежала на прямій .

97. Знайти рівняння площини, в якій лежать прямі та .

98. Переконавшись, що прямі

та

перетинаються, знайти площину, в якій вони лежать.

99. Знайти прямі, що перетинають прямі

та

і паралельні площині х + y + z = 0.

100. Знайти прямі, які перетинають прямі

та та

101. Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від двох прямих і .

102. Знайти рівняння геометричного місця прямих, що проходять через точку М і перпендикулярні до прямої .

103. Знайти прямі, які перетинають прямі

а також їх геометричне місце.

104. Знайти геометричне місце прямих, які проходять через вісь Ох і паралельні прямій .

105. Скласти рівняння конічної поверхні, вершиною якої є початком координат, а напрямна задана рівнянням і .

106. Знайти загальне рівняння поверхонь другого порядку, які перетинаються площиною xOy по кривій .

107. Знайти рівняння поверхні другого порядку, на якій лежать кола .

108. Показати, що рівняння задовольняють лише такі точки, що лежать на прямій , .

109. Показати, що рівняння задовольняють лише координати точки
М (– 1, 1, 1).

110. Скласти рівняння другого порядку, які задовольняють лише координати точки М(2, 1, 1).

111. Знайти прямі, по яких поверхня конуса перетинається площиною .

112. Знайти твірні поверхні , які проходять через точку (1, 1, 1).

113. Знайти прямі, паралельні твірним поверхонь і .

114. Знайти центр поверхні . Перетворити рівняння, перенісши початок координат у знайдений центр.

Спростити рівняння поверхонь та записати відповідні формули перетворення координатних осей.

115. .

116. .

117. .

118. .

119. .

120. .

121. .

122. .

123. .

124. .

125. .

126. .

127. .

128. .

129. .

130. .

131. .

132. .

Спростити рівняння поверхонь:

133. .

134. .

135. .

136. Через пряму провести площину, яка перетинає поверхню по рівнобічній гіперболі.

137. Через точку (a, b, g) провести площину, що перетинає еліпсоїд по еліпсу, з центром у тій самій точці.

138. Знайти координати вершини параболи, утвореної в результаті перетину циліндра площиною .