Теорема об изменении момента количества движения материальной точки.

Установим зависимость между и , для этого найдем

0, т.к. угол между и =0

Соотношение выражает теорему об изменении .

Производная по времени от момента количества движения точки относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов сил, действующих на точку относительно того же центра.

Проектируя (7.6) на оси x, y, z, получим

Производная по времени от момента количества движения точки относительно некоторой неподвижной оси равна алгебраической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно этой же оси.

Следствия из теоремы.

1. Если линия действия равнодействующей приложенных к точке сил, все время проходит через некоторый неподвижный центр, то момент количества движения точки относительно данного ц3ентра остается постоянным.

Из (7.6) следует, что если

, то и

Примером этого следствия служит движение точки под действием центральных сил.

Центральной силой называется сила, линия действия которой за время движения проходит через некоторый центр, а модуль зависит от расстояния между этим центром и точкой приложения силы.

и .

Из этого следует, что плоскость, проходящая точку с не изменяет своего положения. Т.е. траектория точки лежит в этой плоскости.

2. Если момент равнодействующей приложенных к точке сил относительно некоторой оси все время равняется 0, то остается Const

Из уравнения (7.7) если

Понятие о секторной скорости. Закон площадей. рисунок

Мы выяснили, что если , траектория точки лежит в плоскости ( и 0) и - const (или ).

Момент () относительно центра с всегда const.

Этот результат имеет наглядное истолкование

, где - площадь элемента .

Величина определяет скорость, с которой растет площадь, ометаемая радиусом-вектором при движении точки М и называется секторной скоростью точки.

В нашем случае .

Таким образом, при движении под действием центральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью, т.е. так, что радиус-вектор точки в любые равные промежутки времени ометает равные площади (закон площадей).

Этот закон имеет место при движении планет и выражает собой один из законов Кеплера.

А – афелий

П – перигелий

Кинетический момент механической системы относительно центра и оси.

Кинетическим моментом, или главным моментом количеств движения механической системы относительно данного центра, называется вектор, равный геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра.

Кинетический момент системы

Кинетическим моментом, или главным моментом количеств движения механической системы относительно оси, называется алгебраическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно этой оси.

, то

Проекция кинетического момента механической системы относительно некоторого центра О на ось, проходящую через этот центр О, равна кинетическому моменту механической системы относительно этой оси.