Относительное движение материальной точки.

Основной закон динамики.

Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной, к ней силе и имеет одинаковое с ней направление.

 

 

М

Основное уравнение динамики

- ускорение

m – инертная масса

 

Массу тела можно определить по ускорению, которое оно получает под действием известной силы. Например, по силе тяготения.

G и g изменяются с изменением широты и высоты над уровнем моря; масса же является величиной неизменной.

Закон равенства действия и противодействия.

Две точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными по одной прямой в противоположные стороны.

Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Закон независимости действия сил.

(закон суперпозиции сил)

Эта аксиома следует из аксиомы сложения сил, который утверждает.

При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других приложенных к точке сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от каждой отдельной силы.

Если , ,

то , …

Суммируя, получим

основное уравнение динамики для свободной точки

для несвободной точки.

Динамика материальной точки

Задачи динамики для материальной точки.

1) Зная закон движения точки, определить действующую на нее силу.

2) Зная действующую на точку силу, определить закон движения точки.

Эти задачи решают с помощью основного уравнения динамики материальной точки.

z

М(х,у,z)

Дифференциальные уравнения свободной материальной точки.

m – масса точки

система сил …

х

у

х

у

Основное уравнение динамики

спроектируем обе части этого векторного равенства на координатной оси

Естественные уравнения движения точки

М

спроектируем на естественные оси

 

 

 

Пример решения первой задачи динамики.

Материальная точка весом 2Н уравнения движения см

у

Определить силу в зависимости от координат? см

М(х,у)

Дифференциальное уравнение движения в векторной форме

х

 

;

Вторая задача динамики.

Зная массу, силы, действующие на точку определить закон движения. Возьмем для примера дифференциальные уравнения точки

подставляя значение массы и суммы проекции приложенных сил, полученные уравнения дважды интегрируем по времени.

Т.к. силы, действующие на точку в общем случае являются переменными, то правые части уравнений могут зависеть (t, x,y,z, ).

Из теории? дифференциальных уравнений известно, при интегрировании каждого уравнения получаем 2 const, т.к. уравнения 3, то const 3 х 2 будет 6.

Значение const определяется из начальных условий (, , ).

Определив значение const, подставив из заполнения в общее решение уравнения движения точки в виде

(, , )

(, , )

(, , )

Уравнения показывают, что под действием одной и той же силы точка может совершать целый класс движений, определяемых начальными условиями движения.

При составлении дифференциальных уравнений за начальный момент времени обычно принимается момент начала движения точки под действием заданных сил, для которого известны как положение точки, так и ее скорость.

Путем введения начальной скорости учитывается влияние на ее движение сил, действующих на материальную точку до того момента, который принят за начальный момент.

Дифференциальные уравнения точки описывают движение точки до тех пор, пока на нее действуют силы, вошедшие в правую часть этих уравнений.

Относительное движение материальной точки.

Два первых закона классической механики и все полученные на их основе уравнения справедливы для движения материальной точки относительно инерциальной системы отсчета.

Рассмотрим движение точки относительно неинерциальной системы отсчета

- инерциальная система отсчета

- неинерциальная система отсчета.

точка М движется относительно системы отсчета .

Движение точки М относительно - абсолютное

Движение точки М относительно - относительное

Будем считать, что переносное движение системы и силы, действующие на точку известны.

Основное уравнение динамики для абсолютного движения

(3.1) - абсолютное ускорение

из кинематики известно:

из полученного уравнения определяем

(3.1)

Введем два вектора

Эти векторы назовем переносной и кориолисовой силой инерции

Сравнивая его с основным уравнением для абсолютного движения, можно сказать, что в случае непоступательного переносного движения относительное движение точки можно рассматривать как абсолютное, если к действующим на точку силам присоединить переносную и кориолисову силу инерции.

В инерциальной системе отсчета ускорение точки является результатом действия сил, т.е. взаимодействия с другими телами; в неинерциальной системе отсчета ускорение точки является как результатом действия на нее сил, таки результатом движения самой системы.

Действие сил – динамическая причина возникновения ускорения.

Движение системы – кинематическая причина.

Проектируя векторы уравнения (3.3) на оси подвижной системы получим дифференциальные уравнения относительно движения точки.

и - поправки на неинерциальность системы

 

Рассмотрим частные случаи относительного движения точки, соответствующие различным видам переносного движения.

1. Переносное движение – неравномерное вращение вокруг неподвижной оси.

- центробежная сила инерции

- вращательная сила инерции

2. Переносное движение – равномерное вращение.

3. Переносное движение – поступательное неравномерное криволинейное

4. Переносное движение – поступательное прямолинейное и равномерное.

т.е. подвижная система отсчета является в этом случае инерциальной.