Формы записи комплексных чисел

1. Алгебраическая форма комплексного числа

Запись комплексного числа в виде z = x + i y называется алгебраической

формой комплексного числа.

Комплексное число z = x + i y может быть изображено в декартовой

координатной плоскости XОY либо точкой с абсциссой х и ординатой у,

либо радиус-вектором этой точки:

2. Тригонометрическая форма комплексного числа

Из рисунка видно, что x=rcosφ, у=rsinφ. Подставляем данные значения х и у в алгебраическую форму комплексного числа имеем, z= rcosφ + rsinφi=r(cosφ + isinφ) то есть z=r(cosφ + isinφ). Такая форма записи комплексного называется тригонометрической формой комплексного числа.

Перечень умений

 

№	Умение	Алгоритм
1.	Выполнять действия над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение и деление).	Определить, какое выполняется действие над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение и деление) и применить соответствующие формулы.
2.	Представлять комплексные числа в тригонометрической и показательной форме.	1. Найти модуль комплексного числа. 2. Найти главное значение аргумента. 3. Записать полученное число.
3.	Возводить в степень (формула Муавра).	1. Представить комплексное число в тригонометрической форме; 2. Воспользоваться формулой возведения комплексного числа в степень; 3. Записать полученное число.
4.	Решать алгебраические уравнения на множестве комплексных чисел.	1. Разложить исходный многочлен на множители; 2. Корни квадратичной функции найти по формуле корней квадратного уравнения.

 

 

Тренинг умений

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 1

Найти , если .

Решение

 

№	Алгоритм	Конкретные действия
1.	Определить, какое выполняется действие над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение и деление) и применить соответствующие формулы.	Если то 1. Умножение выполняется по формуле: 2. Деление выполняется по формуле: 3. Имеем 4.

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 2.

 

Представить в тригонометрической и показательной форме комплексное число .

Решение

 

 

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 3

Возвести в степень .

Решение

№	Алгоритм	Конкретные действия
1.	Представить комплексное число в тригонометрической форме.	1. 2. 3.
2.	Воспользоваться формулой возведения комплексного числа в степень.	1.   2.
3.	Записать полученное число.

 

Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4

Решить уравнение .

Решение

 

№	Алгоритм	Конкретные действия
1.	Разложить исходный многочлен на множители.	Очевидно, – корень этого уравнения. Разделив многочлен на одночлен , получим разложение исходного многочлена на множители: .
2.	Корни квадратичной функции найти по формуле корней квадратного уравнения.	Корни квадратичной функции находим по формуле корней квадратного уравнения: . Ответ. .