Математические модели задачи фирмы 6 страница

- нажать на панели инструментов кнопку «Вставка функции » и функцию «ТРАНСП » (Рисунок 3). Щелкните на кнопке «ОК»;

- в появившемся диалоговом окне «ТРАНСП » введите диапазон вектора Х (диапазон ячеек «Е7:Е9»);

- нажмите сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

В результате в поле ячеек «Е12:G12» расположится транспонированный вектор Х^Т.

 

Рисунок 3. Диалоговое окно транспонирования матрицы

 

Вычислить межотраслевые поставки продукции x_ij. Для этого проделать следующие операции:

- поставить курсор мыши в ячейку «А22», в которой будет расположено значение x ₁₁. В этой ячейке набрать формулу «=A2*E12», которая означает, что x ₁₁ = a ₁₁ x ₁.

- введенную формулу скопируйте во все остальные ячейки первой строки (в ячейки «А22:С22», протащив мышью крестик в правом нижнем углу от ячейки «А22» при нажатой левой кнопке мыши, до ячейки «С22». При этом будут вычислены x ₁₂ = a ₁₂ x ₂ и x ₁₃ = a ₁₃ x ₃.

Затем в ячейке А 23 наберите формулу «=A3*E12» и повторяя аналогичную процедуру, получите значения x ₂₁ = a ₂₁ x ₁, x ₂₂ = a ₂₂ x ₂ и x ₂₃ = a ₂₃ x ₃. Повторите аналогичные действия для ячеек «А24:С24».

В результате все межотраслевые поставки продукции будут найдены и расположатся в матрице с ячейками «А22:С24».

 

Рисунок Решение задачи в Excel

 

5.1.2. Использование технологии MathCAD для построения модели межотраслевого баланса Леонтьева

Вычисление совокупного выпуска по заданному спросу. Межотраслевой баланс в экономике, как известно, - это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.

Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей, производящих определенные товары и услуги. При производстве товаров и услуг в каждой отрасли расходуются определенные ресурсы, которые производятся как в других отраслях, так и в данной отрасли. Это означает, что каждая отрасль экономики выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.

Цель балансового анализа - определить, сколько продукции должна произвести каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.

Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идет на потребление в производящих отраслях, а другая ее часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства - в секторе конечного спроса; при этом потребление в секторе конечного спроса может меняться.

Обозначим:

x_i - объем выпуска i -го сектора (объем товаров и услуг, произведенных в одном из n производящих секторов), i = 1,2,..., n;

b_ij - объем товаров и услуг i -го сектора, потребляемых в j -ом секторе;

y_i - конечный продукт i -го сектора (объем продукции i -го сектора, потребляемой в секторе конечного спроса);

- количество продукции i -го сектора, которое расходуется при производстве одной единицы продукции j -го сектора (коэффициенты прямых затрат).

Межотраслевой баланс - это равенство объема выпуска каждого производящего сектора суммарному объему его продукции, потребляемой производственными секторами и сектором конечного спроса. В приведенных обозначениях имеем соотношения баланса:

, i =1,2,..., n.

Соотношения баланса, записанные через коэффициенты прямых затрат, имеют вид:

, i=1,2,...,n,

или, что то же самое,

, i=1,2,...,n.

Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в сектор конечного спроса от каждого производственного сектора поступает та часть произведенной продукции, которая остается после того, как обеспечены потребности производящих секторов.

Если обозначить вектор выпуска через X, вектор спроса (вектор конечного продукта) - через Y, а структурную матрицу экономики - матрицу, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат a_ij - через А, то соотношения баланса в матричной форме будут иметь вид: (E ‑ A) X = Y, где Е - единичная матрица.

Одна из основных задач межотраслевого баланса - найти при заданной структурной матрице А экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск X, необходимый для удовлетворения заданного спроса Y.

Если матрица обратима, то решение такой задачи определяется как .

Матрица называется матрицей полных затрат.

Порядок выполнения работы.

Задана модель экономики, в которой выделены четыре сектора: три производящих сектора (промышленность, сельское хозяйство, транспорт) и домашние хозяйства в качестве сектора конечного спроса. Структура экономики описана в таблице межотраслевого баланса (объемы указаны в единицах стоимости):

	Сельское хозяйство	Промышленность	Транспорт	Домашние хозяйства	Общий выпуск
Сельское хозяйство
Промышленность
Транспорт

 

Вычислить вектор выпуска для вектора конечного спроса Y =(100 150 120).

Фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями и комментариями приведен ниже.

1.Переменная ORIGIN содержит номер первой строки (столбца) матрицы или первого элемента вектора. По умолчанию ORIGIN:=0. Обычно же в математической записи используется нумерация с 1, поэтому определяем значение этой переменной равным 1.

ORIGIN:=1

2.Это матрица межотраслевого баланса, элементами которой являются количество товаров и услуг i -го сектора, потребляемое j -им сектором (i =1,2,3; j =1,2,3,4). Смотрите таблицу межотраслевого баланса.

3.Первоначальный вектор выпуска, заданный в таблице (общий выпуск).

4.Построение структурной матрицы А по формуле - количество продукции i -го сектора, которое расходуется при производстве одной единицы продукции j -го сектора (коэффициенты прямых затрат).

i:= 1.. 3

j:=1..3

5.Построение матрицы полных затрат по формуле , где единичная матрица 3-го порядка Е =identity(3) - встоенная функция MathCAD.

D:=(identity(3)-A)^-1

6.Новый вектор конечного спроса

7.Вычисление вектора выпуска при новом векторе конечного спроса по формуле

X:=DY

Итак, при векторе конечного спроса Y =(100 150 120) вектор выпуска X =(383.18 483.521 375.827).

 

5.2. Экономико-математическая модель международной торговли (линейная модель обмена)

Рассмотрим бюджеты n стран, которые обозначим как x ₁, x ₂, …, x _n.

Предположим, что национальный доход x_j страны j затрачивается на закупку товаров внутри страны и на импорт из других стран.

Обозначим через x_ij количество средств страны j расходуемое на закупку товаров из страны i, при этом x_jj – затраты на закупку товаров внутри страны j. Тогда сумма всех затрат страны j, идущее на закупку товаров как внутри страны, так и на импорт из других стран должна равняться национальному доходу страны x_j, т.е.

, j = 1, 2,…, n. (4)

Разделив обе части равенства (4) на x_j и введя коэффициенты получим

, j = 1, 2,…, n (5)

Коэффициенты a_ij равны доли национального дохода страны j расходуемую на закупку товаров у страны i.

Матрица A коэффициентов a_ij

(6)

называется структурной матрицей торговли. Понятно, что сумма элементов каждого столбца равна единице.

С другой стороны, количество средств страны j расходуемое на закупку товаров из страны i и равное x_ij, является выручкой для страны i за свой товар, который у нее закупила страна j. Суммарная выручка i -ой страны p_i равна

, i = 1, 2,…, n (7)

Так как , то x_ij = a_ij x_j и равенство (7) можно записать в виде

,

i = 1, 2,…, n. (8)

Международная торговля называется сбалансированной, если сумма платежей (затрат) каждого государства равна его суммарной выручке от внешней и внутренней торговли.

В сбалансированной системе международной торговли не должно быть дефицита, другими словами, у каждой страны выручка от торговли должна быть не меньше ее национального дохода, т.е.

p_i ≥ x_i, i = 1, 2,…, n.

Одновременное выполнение этих неравенств может иметь место только в том случае, если

p_i = x_i, i = 1, 2,…, n, (9)

т.е. у всех торгующих стран выручка от внешней и внутренней торговли должна совпадать с национальным доходом.

Равенства (9), с использованием (8), можно записать в матричном виде

AX = X (10)

где А – структурная матрица (6) международной торговли; Х – вектор национальных доходов стран

Матричное уравнение (10) соответствует задаче на собственное значение и собственный вектор матрицы А. Очевидно, что собственное значение матрицы А, согласно уравнению (10), равно 1, а собственный вектор, соответствующий этому собственному значению, равен Х.

Таким образом, баланс в международной торговле достигается тогда, когда собственное значение структурной матрицы международной торговли равно единице, а вектор национальных доходов торгующих стран является собственным вектором, соответствующим этому единичному собственному значении.

С помощью линейной модели международной торговли можно, зная структурную матрицу международной торговли А найти такие величины национальных доходов торгующих стран (вектор Х), чтобы международная торговля была сбалансированной.

5.2.1. Построение линейной модели обмена средствами Excel

Определение собственного вектора X матрицы А с помощью средств Microsoft Excel невозможно.

Поэтому математическую модель международной торговли сводят к задаче линейного программирования. Для этого, систему уравнений

(A – E) X = 0,

где Е – единичная матрица

которая получается из уравнений (10) переносом правой части в левую, трактуют как ограничения-равенства.

Кроме того, вводят новое ограничение-неравенство

_,

отражающее условие, по которому сумма бюджетов всех стран должна быть не больше заданной величины S.

В качестве целевой функции вводится сумма бюджетов всех стран, которая должна достигать максимума:

Итак, математическая модель сбалансированной международной торговли сводится к следующей оптимизационной задаче линейного программирования. Необходимо найти максимум целевой функции

при ограничениях:

Решим пример с использованием Excel.

Найти национальные доходы x ₁, x ₂, x ₃, x ₄ четырех торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица торговли этих четырех стран равна

_,

а сумма бюджетов стран не превышает 7 680 млн.ден.ед.

Математическая модель

при ограничениях:

-0,8 x ₁+0,2 x ₂+0,1 x ₃+0,1 x ₄=0
0,3 x ₁-0,7 x ₂+0,1 x ₃+0,2 x ₄=0
0,4 x ₁+0,3 x ₂-0,5 x ₃+0,4 x ₄=0
0,1 x ₁+0,2 x ₂+0,3 x ₃-0,7₄=0
x ₁+ x ₂+ x ₃+ x ₄≤7 680

Методика решения задачи линейного программирования с помощью средств «Поиска решения» Excel подробно рассматривалась ранее (гл. 1) и поэтому здесь уже рассматриваться не будет.

Исходные данные на рабочем листе Excel приведены на рис.4.

 

Рисунок 4. Исходные данные в Excel

 

В ячейки «В2:Е6» занесены коэффициенты при системе ограничений, в ячейках «G2:G6» содержатся ограничения в правых частях, в ячейки «I2:I6» занесены формулы левых частей ограничений, ячейки «В9:Е9» содержат изменяемые переменные x ₁, x ₂, x ₃, x ₄. Например, в ячейке «I2» записана формула ограничений «=СУММПРОИЗВ(В2:Е2;В9:Е9)». Аналогичные формулы записаны в ячейках «I3:I6». Формула целевой функции «=СУММ(В9:Е9)» занесена в ячейку «С10».

Рисунок 5.Окно надстройки Поиск решения в Excel

Алгоритм решения: занесение в окно «Поиск решения» ячейки с формулой целевой функции, занесение изменяемых ячеек, внесение ограничений приведено на рис. 5. В окне Параметры необходимо отметить: Линейная модель, Неотрицательные значения, Автоматическое масштабирование.

На рис. 6 приведены результаты решения, согласно которым национальные доходы четырех стран x ₁, x ₂, x ₃, x ₄ равны соответственно 1015.359, 1458.228, 3251.308, 1955.105 млн.ден.ед. Из содержимого ячеек «I2:I6» видно, что все ограничения выполнены. Значение целевой функции (ячейка «С10») равно 7 680 млн.ден.ед.

 

Рисунок 6.Решение задачи средствами Excel

 

5.2.2. Построение линейной модели обмена средствами MathCad

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется n стран S₁, S₂,..., S_n, национальный доход каждой из которых равен соответственно x₁, x₂,..., x_n. Обозначим коэффициентами a_ij долю национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

a_1j + a_2j +... + a_nj = 1 (j = 1,2,...,n).

Рассмотрим матрицу,

_,

которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

Для любой страны S _i (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит:

p_i = a_i1 x₁ + a_i2 x₂ +... + a_in x_n.

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

p_i > = x_i (i = 1,2,...,n).

Если считать, что p_i > x_i (i = 1,2,...,n), то получаем систему неравенств:

Сложив все неравенства системы, получим после группировки:

x₁(a₁₁ + a₂₁ +... + a_n1) + x₂(a₁₂ + a₂₂ +... + a_n2) +... + x_n(a_1n + a_2n +... + a_nn) > x₁ + x₂ +... + x_n.

Учитывая, что выражения в скобках равны единице, мы приходим к противоречивому неравенству:

x₁ + x₂ +... + x_n > x₁ + x₂ +... + x_n.

Таким образом, неравенство p_i > x_i (i = 1,2,...,n) невозможно, и условие p_i > = x_i принимает вид p_i = x_i (i = 1,2,...,n). (С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль.)

Вводя вектор x = (x₁, x₂,..., x_n) национальных доходов стран, получим матричное уравнение:

AX = X,

где X - матрица-столбец из координат вектора x, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению, равному единице.

Задача.

Структурная матрица торговли трех стран S₁, S₂, S₃ имеет вид:

Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.

Решение. Находим собственный вектор X, отвечающий собственному значению, равному единице, решив уравнение (A - E)X = 0 или систему:

С помощью метода Жордана-Гаусса найдем общее решение этой системы. В результате получим систему:

Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов X = (2,25c; 2,5c; c), т.е. при соотношении национальных доходов стран 2,25:2,5:1 или 9 :10:4.

 

 

 

Контрольные вопросы.

1. Модель Леонтьева «Затраты-выпуск». Необходимое и достаточное условие ее продуктивности.

2. Вектор х в модели Леонтьева называется:

а. вектором конечного потребления;

б. вектором валового выпуска;

в. вектором межотраслевого баланса;

г. вектором прямых затрат.

3. В модели Леонтьева х_ij – это…..?

4. Что показывают коэффициенты прямых затрат?

5. Дайте определение коэффициентов полных материальных затрат.

 

 

5.3. Варианты заданий по теме

Задание 1. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:

Вариант 1.

Вариант 2

Вариант 3

Определить:

1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B.

2) Проверить продуктивность матрицы A.

3) Вектор валового выпуска X.

3) Межотраслевые поставки продукции x_ij

Задание 2. Найти национальные доходы четырех торгующих стран в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица торговли этих четырех стран равна:

Вариант 1 а сумма бюджетов стран не превышает 4590 млн.ден.ед.

Вариант 2 а сумма бюджетов стран не превышает 15055 млн.ден.ед.

Вариант 3 а сумма бюджетов стран не превышает 9000 млн.ден.ед.

 

6. Основы Финансовой математики

6.1 Временная ценность денег

Финансовые вычисления, базирующиеся на понятии временной стоимости денег, являются краеугольным элементом финансового менеджмента и используются в различных его разделах. Наиболее интенсивно они применяются для оценки инвестиционных проектов, в операциях на рынке ценных бумаг, в ссудо-заёмных операциях, в оценке бизнеса и др.

Переход нашей страны к рыночной экономике сопровождался появлением, некоторых видов деятельности, имеющих для финансового менеджера предприятия принципиально новый характер. К их числу относится, например, задача эффективного вложения денежных средств (в условиях централизованно планируемой экономики на уровне обычного предприятия такой задачи практически не существовало). Причин было несколько.

Прежде всего, ни юридические, ни физические лица официально, как правило, не располагали крупными свободными денежными средствами. В частности, денежные ресурсы предприятия жестко лимитировались прямыми или косвенными методами. Так, наличные деньги лимитировались путем установления Государственным банком максимального остатка денежных средств, который мог находиться в кассе на конец рабочего дня. Сумма средств на расчетном счете ограничивалась косвенными методами, главным образом, путем изъятия средств в бюджет в конце отчетного периода, а также путем введения довольно жестких нормативов собственных оборотных средств.

Еще одна причина состояла в том, что практически единственный путь использования свободных денег был связан с размещением их под проценты в сберегательном банке. Стабильность экономического развития, оказавшаяся, как теперь принято говорить, застоем, гарантировала в этом случае не только сохранность денежных средств, но и их небольшой рост.

Ситуация резко изменилась с переходом к рыночной экономике. Можно выделить, как минимум, шесть основных моментов. Во-первых, были упразднены многие ограничения, в частности, нормирование оборотных средств, что автоматически исключило один из основных регуляторов величины финансовых ресурсов на предприятии.

Во-вторых, кардинальным образом изменился порядок исчисления финансовых результатов и распределения прибыли. С введением новых форм собственности стало невозможным изъятие прибыли в бюджет волевым методом, как это делалось в отношении государственных предприятий, благодаря чему у предприятий появились свободные денежные средства.

В-третьих, как уже упоминалось выше, произошла существенная переоценка роли финансовых ресурсов, т.е. появилась необходимость грамотного управления ими, причем в различных аспектах - по видам, по назначению, во времени и т.д.

В-четвертых, появились принципиально новые виды финансовых ресурсов, в частности, возросла роль денежных эквивалентов, в управлении которыми временной аспект имеет решающее значение.

В-пятых, произошли принципиальные изменения в вариантах инвестиционной политики. Переход к рынку открыл новые возможности приложения капитала: вложения в коммерческие банки, участие в различного рода рисковых предприятиях и проектах, приобретение ценных бумаг, недвижимости и т.п. Размещая капитал в одном из выбранных проектов, финансовый менеджер планирует не только со временем вернуть вложенную сумму, но и получить желаемый экономический эффект.

В-шестых, в условиях свойственной переходному периоду финансовой нестабильности, проявляющейся в устойчиво высоких темпах инфляции и снижении объемов производства, стало невыгодным хранить деньги даже в государственном банке. Многие предприятия на опыте познали простую истину: в условиях инфляции денежные ресурсы, как и любой другой вид активов, должны обращаться и, по возможности, быстрее.

Таким образом, деньги приобретают еще одну характеристику, доселе неведомую широкому кругу людей, но объективно существующую, а именно - временную ценность. Этот параметр можно рассматривать в двух аспектах.

Первый аспект связан с обесценением денежной наличности с течением времени. Представим, что предприятие имеет свободные денежные средства в размере 15 млн. руб., а инфляция, т.е. обесценение денег, составляет 20 % в год. Это означает, что уже в следующем году, если хранить деньги «в чулке», они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в ценах текущего дня лишь 12,5 млн.руб.

Второй аспект связан с обращением капитала (денежных средств). Для понимания существа дела рассмотрим простейший пример:

Предприятие имеет возможность участвовать в деловой операции, которая принесет доход в размере 10 млн. руб. по истечении двух лет. Предлагается выбрать вариант получения доходов: либо по 5 млн. руб., по истечении каждого года, либо единовременное получение всей суммы в конце двухлетнего периода.