Эллинистическая Греция в годы детства 13 страница

Действительно, если бы тело выступало над поверхностью жидкости, то находящийся под телом слой жидкости испытывал бы большее давление, чем слой жидкости, находящийся на таком же расстоянии от центра в каком-либо другом месте. А это значит, что жидкость придет в движение и не успокоится до тех пор, пока тело не погрузится целиком в жидкость и давление на все точки одного и того же слоя жидкости не станет одинаковым. Но как {185} только все тело погрузится в жидкость и наступит равновесие, уже не будет никакой причины для погружения тела глубже под воду.

Точно таким же образом без труда доказывается, что тело, имеющее меньший удельный вес, чем жидкость, в которую оно погружено, будет стремитьсявверх из воды, пока не окажется погруженным лишь одной частью, тогда как другая часть будет выступать над поверхностью воды; только в этом случае давление на различные точки одного и того же слоя жидкости будет одинаковым; в том месте, где находится тело, расстояние от поверхности до взятого слоя будет, правда, больше, чем в других местах, но зато удельный вес здесь соответственно меньше, а следовательно, давление всюду одинаково. Очевидно также, что, заменяя часть жидкости плавающим телом, мы не нарушаем равновесия и не изменяем давления на находящийся под телом слой жидкости, а это возможно только в том случае, если вес тела равен весу жидкости, вытесненной частью, находящейся под поверхностью жидкости. Выводом из этой теоремы является следующая за ней: погруженное в жидкость тело, удельный вес которого меньше удельного веса жидкости, стремится кверху с силой, равной разности между весом жидкости, взятой в объеме этого тела, и весом самого тела. В самом деле, если некоторое тело плавает на поверхности жидкости, то часть его, погруженная в жидкость, стремится вверх, как и всякое тело, более легкое, чем жидкость, часть же его, находящаяся в воздухе, стремится, очевидно, вниз. Так как в результате плавающее тело остается неподвижным, то, очевидно, стремление вверх части, погруженной в жидкость, равно стремлению вниз, т. е. весу части, находящейся в воздухе. Но вес части, находящейся в воздухе, равен разности между весом всего плавающего тела и весом его подводной части, а, как мы видели, вес всего плавающего тела равен весу жидкости, взятой в объеме погруженной в жидкость части его. Итак стремление погруженной в воду части вверх (равное весу части, находящейся в воздухе) равно разности между весом жидкости, взятой в объеме погруженной в жидкость части, и весом самой этой части. Это верно, очевидно, для всякого погруженного в жидкость тела. {186}

Эта теорема имеет огромный принципиальный интерес. Стремление тела вверх, т. е. эта разность, очевидно, тем больше, чем больше удельный вес жидкости, в которую тело погружено. Это есть принцип Демокрита, прямо противоположный принципу Аристотеля, по которому тело, погруженное в жидкость, движется тем быстрее, чем удельный вес этой жидкости меньше. Очень возможно, что в этом случае, как и в случае с определением объема пирамиды, Архимед, не зная Демокрита, самостоятельно пришел к тому же выводу, что и он.

Это совпадение во взглядах между Архимедом и Демокритом осталось не отмеченным в нынешней науке вследствие недостаточно глубокого знакомства с наследием Демокрита. Но древним оно не могло не броситься в глаза; недаром Эратосфен, боровшийся, как мы видели, с атомизмом, счел необходимым и в этом случае выступить против теории, противоречившей концепции Аристотеля.

Как мы уже указали выше (стр. 53—54), Эратосфен, будучи математиком, не мог оспаривать правильность доказательства Архимеда. Несомненно, он оспаривал не самое доказательство, а аксиому, легшую в его основание, согласно которой все тела тяжелы и все стремятся к центру Земли, а не к «своему естественному месту» (οκεΐος τόπος), как утверждал Аристотель, и, очевидно, вслед за ним Эратосфен.

Исходя из той же аксиомы, Архимед показывает, что всякое тело с бóльшим удельным весом, чем жидкость, при погружении в эту жидкость теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненный им, т. е. равный его объему, объем жидкости.

Пусть вес тела a + b, вес равного ему объема воды b. Представим себе теперь тело, более легкое, чем вода, вес которого равен b, тогда как вес равного ему объема воды a + b. Сцепим вместе оба тела. Вместе они весят (а + b)+ b=a +2 b; вес равного им объема воды b +(a + b)= а +2 b. Теперь соединенное тело весит как раз столько, сколько вытесненный им объем воды, и, следовательно, плавает и находится в состоянии равновесия. Но второе, легкое тело стремится вверх, как мы видели выше, с силой, равной разности между весом жидкости, взятой в его объеме, и его собственным весом, т. е. с силой (a + b)— b = а. Итак, лег-{187}кое тело стремится вверх с силой a, и в результате получается равновесие; это возможно только в том случае, если тяжелое тело стремится вниз с той же силой a, а следовательно, его потеря в весе равна b, т. е. оно потеряло в весе столько, сколько весит равный ему объем жидкости.

Прежде чем перейти к группе работ из области «логистики» (вычислительной арифметики), остановимся на курьезной работе Архимеда, посвященной салонной игре «стомахион» («головоломке»), бывшей, вероятно, одним из развлечений сиракузского двора. Из этого сочинения прежде известен был только один небольший отрывок в арабском переводе. Так как в более позднее время всякую трудную задачу называли «архимедовой задачей», то полагали, что и сочинение о «стомахионе» называлось «архимедовым» в этом переносном смысле, ибо считали невероятным, чтобы Архимед занимался такими пустяками, как теория салонной игры. Однако в рукописи с подлинными сочинениями Архимеда, найденной в 1906 г. Попадопуло- Керамевсом и опубликованной Гейбергом (см. стр. 143), сохранилось и начало «стомахиона», так что нет никаких сомнений в подлинности этого сочинения.

Фиг. 36

Игра «стомахион» состоит в том, чтобы сложить 14 пластинок из слоновой кости таким образом, чтобы они в совокупности образовали квадрат; разумеется, это можно сделать различными способами. Архимед прежде всего обратил внимание на то, что в некоторых случаях получается только видимость заполнения квадрата фигурами, «стороны фигур не лежат на одной прямой, но так мало отступают от нее, что это не заметно глазу»; эти случаи также подлежат изучению, ибо и в этом случае задача считается решенной.

Так, например, если в квадрате ABCD (фиг. 36) провести прямую АЕ, соединяющую вершину А с серединой {188} Е противоположной ей стороны ВС, а затем отрезок АК прямой АЕ от вершины А до пересечения с диагональю BD разделить пополам в точке F, то получается впечатление, что Δ AFD = Δ FKD и что один из них можно заменить другим. В действительности же, если прямые АЕ и CD продолжить до пересечения в точке G, то

(1)

Ð AKD = Ð AGD + Ð GDB.

(2)

Но в D ACG сторона CG, равная стороне квадрата, меньше стороны АС (диагонали квадрата) и, следовательно,

Ð GAC <Ð AGD;

с другой стороны,

(3)

Ð CAD = Ð GDB.

Поэтому, складывая почленно (2) и (3), получаем

Ð GAC + Ð CAD <Ð AGC + Ð CDB,

или, ввиду (1),

Ð GAD < Ð AKD.

Следовательно, D AFD не равен D FKD.

Другой дошедший до нас отрывок посвящен доказательству того, что отношение площади каждой из 14 пластинок «стомахиона» к площади всего квадрата рационально.

Это сочинение — характерный образец того, как ясный и научно вышколенный ум ученого умеет найти строго логические связи в любых фактах, казалось бы, основанных на сцеплении случайностей.

Дошедшая до нас в арабском переводе «Книга лемм» представляет собою, по-видимому, сделанную в позднее время выборку из различных сочинений Архимеда. Мы приведем из этого собрания две задачи, относящиеся к типу математических развлечений и близко примыкающие по типу к «стомахиону».

1. Найти площадь «скорняжного ножа» (ρβηλος). Поверхность скорняжного ножа, применявшегося для разрезания и очистки кожи, представляла собой фигуру, ог-{189}раниченную тремя касающимися друг друга полуокружностями, центры которых лежат на одной прямой (фиг. 37). Архимед доказывает, что площадь скорняжного ножа равна площади круга, диаметр которого перпендикулярен к общей линии центров данных окружностей и идет от точки касания двух меньших окружностей до пересечения с большей (фиг. 38).

Фиг. 37 Фиг. 38

 

В самом деле,

АС ² = (АВ + ВС)² = АВ ² + ВС ² + 2 AB · ВС.

Но

AB · BC = DB ²,

откуда

АС ²= АВ ² + ВС ² + 2 DB ²,т. е.

(p/8) AC ² = (p/8) AB ² + (p/8) BC ² + (p/4) DB ²,

или

(p/8) АС ² — (p/8) АВ ² — (p/8) ВС ²=(p/4) DB ².

Левая часть этого равенства есть площадь скорняжного ножа, а правая — площадь круга с диаметром DB, что и требовалось доказать.

2. Римская солонка (σάλινον) имеет форму полушария с желобком вокруг в форме тора и крышкой в форме полушария (фиг. 39). Изображенная в проекции на плоскость она выглядит, как на прилагаемом чертеже (фиг. 40). Эту проекцию Архимед и называл σάλινον («римской солонкой»). {190}

Докажем, что площадь искомой фигуры равна площади круга с диаметром BD.

AN ² = (PN + АР)²= PN ² + АР ² + 2 PN · АР,

AN ² + АМ ² = PN ² + АР ² + 2 PN · AP + АМ ².

Фиг. 39 Фиг. 40

Заменяя АР в предпоследнем члене через PN + АМ, получим.

AN ² + АМ ²= PN ² + АР ² +2 PN (PN + АМ) + АМ ² =

= PN ² + АР ² + 2 PN ² + 2 PN · АМ + АМ ² =

= АР ² + 2 PN ² + (PN + АМ)² =

= 2(AP ²+ PN ²).

Но

BD = ВР + PD = АР + PN = AN,

откуда

BD ² + АМ ² = 2 АР ² + 2 PN ²,

или

2 АР ² + 2 PN ² — АМ ² = BD ²,

т. е.

(p/2) AP ² + (p/2) PN ² — (p/4) AM ² = (p/4) BD ²

Здесь левая часть — площадь солонки, а правая — площадь круга с диаметром BD, что и требовалось доказать. Архимед обходится без умножения обеих частей уравнения на π/4 ибо он действует при помощи пропорций.

Сочинение «Об измерении круга», как и другие работы этой эпохи, исключая разобранную выше работу «О пла-{191}вающих телах», не имеет большого познавательного значения, скорее являясь образцом виртуозного овладения вычислительной техникой («логистикой»). Избалованные алгебраическими обозначениями, таблицами корней, логарифмов и т. д., мы, к сожалению, уже не в состоянии воздать должную дань восхищения этой стороне работы Архимеда. Открывающая это сочинение теорема о том, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен окружности, а другой — радиусу, представляет собою переработку в новом духе старой теоремы математики атомистов. В этой математике круг как «бесконечноугольник» (как «всюду-угол», как выражался Демокрит) естественно рассматривался как совокупность узких треугольников с вершинами в центре, высоты которых сколь угодно мало отличались от радиусов. Сумма площадей всех этих треугольников, очевидно, равна площади того треугольника, о котором говорит Архимед. Но Архимед так рассуждать не мог. Он предполагает, что площадь круга больше или меньше площади указанного треугольника на некоторую конечную величину. Описывая и вписывая многоугольники и последовательно удваивая число их сторон, он показывает по разобранному выше шаблону невозможность того и другого допущений.

Основная теорема этой книги — это доказательство того, что отношение окружности любого круга к его диаметру меньше, чем 3¹/₇, и больше, чем 3¹⁰/₇₁.

Для этой цели применяется метод, который мы вынуждены были постулировать уже для Антифонта: число сторон вписанного и описанного многоугольников последовательно удваивается, длины периметров описанного и вписанного многоугольников сравниваются между собой. Но, конечно, Архимед не собирается продолжать эту процедуру до тех пор, пока периметры описанного и вписанного многоугольников станут равны между собой: он сопоставляет эти периметры только для оценки погрешности, для определения степени точности полученного результата. Это его первая большая заслуга.

Нахождение периметра многоугольника с числом сторон 2 n не является личной заслугой Архимеда: этот пе-{192}риметр умел находить уже Антифонт1. Но Архимед упростил и ра-

Таблииа 8. Памятники финикийско-эллинистического

искусства. Изделия из терракоты

ционализировал чертеж, и, по-видимому, получил результат при помощи более простых и более точных вычислений. Вместо того чтобы чертить ряд описанных многоугольников, он откладывает полустороны описанных многоугольников на одной и той же касательной (фиг. 41). В самом деле, пусть АВ половина стороны описанного n -угольника; стоит разделить угол ВОА пополам и провести биссектрису ОС, и мы получим отрезок АС, равный полустороне описанного 2 n -угольника. Разделив далее пополам Ð СОА и проведя биссектрису OD, мы получим отрезок AD, равный полустороне описанного 4 n -угольника и т. д.

Пусть АВ полусторона описанного шестиугольника а, следовательно, угол ВОА — треть прямого. Тогда

_

(1)

OA: AB = Ö3: 1 > 265: 153,

(2)

OB: AB = 2: 1 = 306: 153.

_

Фиг. 41

Откуда взял Архимед приближение 265: 153 для Ö3, нам не известно: либо оно было вычислено уже его предшественниками, либо он сам произвел это вычисление в одном из утраченных арифметических произведений; Архимед дает лишь готовый результат без всяких пояснений.

Для определения длины полустороны 12-угольника АС, 24-угольника AD и т. д. Архимед пользуется теоремой: биссектриса делит основание на части, пропорциональные боковым сторонам

OB: OA = ВС: СА.

(OB + ОА): ОА = (ВС + СА): СА,

(OB + OA): ОА = ВА: СА

(ОВ + ОА): ВА = ОА: СА. {193}

Но, складывая (1) и (2), получаем

(OВ + ОА): ВА = (265 + 306):153 = 571:153.

(3)

Следовательно,

ОА: СА = 571:153,

или

OA = 571 часть, СА = 153 части.

Чтобы определить отношение ОС: СА; учтем, что ОС — гипотенуза треугольника ОАС, катеты которого — СА и ОА, и, следовательно,

OC ² = CA ²+ OA ².

Но из (3)

ОА ² + СА ² = (571² + 153²) частей,

ОС ² = (571² + 153²) частей,

ОС ² : СА ² = (571² +153²):153² = 349 450:23 409,

на основании чего Архимед сразу пишет

OC: CA > 591¹/₃ : 153.

Как Архимед извлек квадратный корень из 349 450, нам не известно.

Применяя тот же прием и для дальнейшего удвоения числа сторон, он получает для полустороны 24-угольнпка

OA: DA > 1162¹/₈ : 153,

OD: DA > 1172¹/₈ : 153,

где 1172 ¹/₈ есть квадратный корень из 1 373 943 ³³/₆₄; как извлечен этот корень, Архимед и в этом случае не объясняет.

Переходя к полустороне AE 48-угольника, Архимед получает

OA: EA > 2334¹/₄ : 153,

OE: EA > 2339¹/₄ : 153, {194}

а для полустороны OF 96-угольника:

OA: AF > 4673¹/₂ : 153.

Но отношение радиуса OA к полустороне 96-угольника равно отношению диаметра к целой стороне 96-угольника; значит, отношение диаметра ко всему периметру

> 4673¹/₂ : (153 ´ 96) > 4673¹/₂ : 14688.

А следовательно, отношение периметра 96-угольника к диаметру

< 14688: 4673¹/₂ < 3 + (667¹/₂)/(4673¹/₂) < 3¹/_7.

Не трудно видеть из чертежа, что Архимед здесь дает правило для последовательного нахождения

ctga, ctg^a/₂, ctg^a/₄,...

Фиг. 42

Для определения нижнего предела (фиг. 42) Архимед начинает со стороны вписанного n -угольника АВ. Если соединить точку B с противоположным концом А ₁ диаметра АА ₁, то получится прямоугольный треугольник. Если мы разделим Ð АОВ пополам и проведем биссектрису ОС, то сторона АС будет, очевидно, стороной 2 n -угольника. Но, проведя СА ₁, убедимся, что при этом и ÐАА ₁ В разделился пополам (ибо Ð АА ₁ В= ¹/₂Ð AOB, а ÐАА ₁ С= ¹ / ₂ АОС); итак, и разделяя угол при А ₁ пополам, мы получаем каждый раз сторону многоугольника с удвоенным числом сторон.

(1)

Треугольники АСА ₁ и АСК подобны, ибо Ð САК =ÐВА ₁ С как опирающиеся на одну и ту же дугу СВ, а {195} Ð ВА ₁ С = Ð СА ₁ А и следовательно, Ð CAK = ÐСА ₁ А; ÐАСА ₁ — общий. Следовательно,

СА ₁ : АС = АС: СК = АА ₁ : АК.

Но А ₁ С — бнссектриса Ð BA ₁ A; следовательно (permutando),

(2)

АА ₁ : АК = А ₁ В: ВК;

из (1) и (2) ut omnes ad omnes, ita unus ad unum:

CA ₁ : AC = (AA ₁ + A ₁ B): (AK + BK),

CA ₁ : AC = (AA ₁ + A ₁ B): AB,

откуда, в случае шестиугольника

_

CA ₁ : AC = (2 + Ö3): 1

и т. д.

Таким же путем, как в случае с описанным 96-угольником, получаем для вписанного 96-угольника, что отношение периметра к диаметру

> (66´96): 2017 ¹/₄ > 6336: 2017 ¹/₄> 3¹⁰/₇₁.

И здесь на каждом шагу приходится извлекать корни из очень больших чисел, но Архимед не объясняет, как он это делает. Не трудно видеть, что последовательные, получаемые им величины это

coseca, cosec^a/₂, cosec ^a/₄...

Предел погрешности, очевидно, равен

3¹/₇ — 3¹⁰/₇₁ = ¹/₄₉₇ » 0.002

Для прикладного практического уклона научной деятельности Архимеда в эту эпоху характерен повышенный интерес к вычислительной технике, логистике и к связанному с ней вопросу о написании и наименовании больших чисел. Уже из сочинения об измерении круга мы {196} видели, что Архимед мастерски владел искусством извлечения квадратных корней из многозначных чисел.

Большой заслугой Архимеда была новая система обозначений для многозначных чисел. Греческая система обозначений чисел не была позиционной. В позиционных системах одна и та же цифра имеет различное числовое значение в зависимости от позиции, от положения: так, в нашей десятичной системе цифра, скажем цифра 6, означает число «6», если стоит на первом месте справа, «60» — если стоит на втором месте справа, «600», если на третьем и т. д. В древневавилонской шестидесятичной системе та же цифра 6 означала число «6», если стояла на первом месте справа, «360», если стояла на втором месте, «21600» — если стояла на третьем месте и т. д. Наоборот, в греческой нумерации каждая цифра всегда имеет определенное значение, независимо от места, которое она занимает: α — всегда 1, δ — всегда 4, κ — всегда 20, ο — всегда 70, ρ — всегда 100, υ — всегда 400 и т. д. Распространение десятичного принципа на числа меньше единицы привело к открытию десятичных дробей, не известных древним грекам; однако, древние вавилоняне оперировали уже с шестидесятичными дробями, вполне аналогичными нашим десятичным.

Трудно допустить, чтобы Архимеду и его современникам не была известна эта вавилонская нумерация, применявшаяся уже за 2 000 лет до н. э. Однако, греки вплоть до начала нашей эры никогда не применяли шестидесятичной системы, отчасти, может быть, потому, что ее трудно было совместить с греческим способом обозначения чисел, но главным образом, несомненно, ввиду своей косности. Однако Архимед (или его предшественник), вероятно, от тех же вавилонян усвоил метод записи чисел при действиях над ними: несмотря на абсолютное значение числовых знаков, он располагал их по десятичным разрядам, подписывая знаки одного и того же разряда друг под другом.

Греческая система исчисления сближалась с позиционной в том отношении, что греки имели различные названия для чисел лишь до одной мириады, т. е. 10 000, а дальше уже считали мириадами. Самым большим числом, которое могло быть выражено таким образом, была «ми-{197}риада мириад», т. е. 100 миллионов. Занятия астрономией заставили греков иметь дело с расстояниями, требовавшими для своего выражения гораздо больших чисел. Этим вопросам была посвящена не дошедшая до нас книга Архимеда «Основы арифметики» (ρχαί); как мы узнаем из популярного сочинения Архимеда «Число песчинок», она была посвящена «наименованиям чисел». Краткое резюме не дошедших до нас «Основ» и дано в упомянутой популярной книге.

Примером «бесконечно большого» числа в греческом фольклоре и быте с древнейших времен было число песчинок. Аристофан даже употребляет шутя особое название для такого числа: «песоксот» (ψαμμακόσιοι). Название сочинения Архимеда — «Псаммит», которое мы неточно переводим — «Число песчинок», имеет тот же смысл, что и «песоксот».

Это сочинение по своему оформлению также примыкает к числу придворных развлекательных сочинений Архимеда. Оно посвящено соправителю Гиерона, царю Гелону, и имеет вид парадокса. Согласно общему мнению греков, число песчинок — самое большое из всех возможных чисел; большего числа нельзя придумать. Архимед доказывает, что это неверно: если даже число существующих в мире песчинок мы увеличим настолько, что они займут все мироздание, то и в этом случае их число не будет наибольшим из всех возможных чисел. Для этой цели Архимеду прежде всего необходимо определить максимальную величину мира. При этом он, как мы говорили уже, исходит из гелиоцентрической системы Аристарха Самосского, полагая, что диаметр всего мира примерно во столько раз больше диаметра солнечной системы во сколько раз этот диаметр больше диаметра Земли. Уже Аристарх нашел, что Солнце равно примерно ¹/₇₂₀ большого круга солнечной системы; Архимед экспериментальным путем нашел угол, под каким видно Солнце: этот угол больше ¹/₁₆₄ прямого и меньше ¹/₁₂₀ прямого (т. е. больше 0°33′ и меньше 0° 45′); отсюда следует, что диаметр Солнца больше, чем сторона тысячеугольника, вписанного в большой круг солнечной системы. Но диаметр Солнца, {198} меньше, чем 30 диаметров Земли, а диаметр Земли меньше, чем 1 000 000 стадиев (157 000 км). Из этих отношений получаем, что диаметр солнечной системы меньше, чем «сто мириад мириад стадиев» (т. е. чем 10 000 000 000 стадиев = 1 570 000 000 км). С другой стороны, зерно мака содержит не более 10 000 песчинок, а ширина пальца не больше, чем ширина 40 зерен мака.

Чтобы найти отношение величины мироздания к величине песчинки, придется иметь дело с числами, не имеющими названий в греческом языке. Но Архимед в своих «Основах арифметики» уже придумал систему названий для этих чисел. В разбираемой нами книге он вкратце знакомит читателя с этой системой.

го порядка, заключающего числа от

Числа, названия для которых существуют в языке, т. е. числа до «мириады мириад» (или до 10⁸) он называет числами «первого порядка» или «первой октады» («восьмерицы»); название «восьмерицы» показывает, что Архимед воспринимал уже 10 000´10 000 как 10 в восьмой степени, хотя и не создал еще понятия степени. Числа от 10⁸ до 10⁶ он называет числами «второго порядка», или «второй октады», от 10¹⁶ до 10²⁴ — «третьего порядка» и т. д., перебирая все употребляющиеся числа вплоть до «мириадно-мириадного» или 100-миллионно-

до

. Этим числом заканчивается первый

период. Второй период, также разбиваемый на «порядки», простирается от

до

и т. д. Наибольшим из чисел, которое можно выразить этим путем, будет последнее число «мириадно-мириадного» порядка «мириадно-мириадного» периода, т. е. Если выражать эти результаты нашими цифрами, то уже последнее число первого периода выразится единицей с 800 000 000 нулей, а последнее из всех этих чисел выразится единицей с 80 триллионами нулей!