, , , , , , , . , , , , , , , , , , , + 2. {154} :
.
b a + b 2 a + b 3 a +...+ b na,
, (. 150) , ( b)
bn 2 a /2 < ba + b 2 a + b 3 a +...+ b na.
a 2 + (2 a)2 + (3 a)2 +...+ (na)2,
, ,
n 3 a 2/3 < a 2 + (2 a)2 + (3 )2 +... + (na)2.
n 3 a 2/3 + bn 2 a /2 < [ ba + a 2] + [ b 2 a + (2 a)2] +...+ [ bna + (na)2],
( 2 ).
, , , , , , , (.152), 2, 2 3;
(na)3/3 + b (na)2/2.
x, ( ò dx);
,
, , 1 , < >. , reductio ad absurdum , a . , , (. 168 .). 2 , , .
, ò bxdx ò x 2 dx. , ? , , ; , {156} . , , , . . .
|
|
, , , , .
, . (: Περ κογχοειδν) , . , - (. . , () ) , ( ) , - . , 1
ρ = n φ.
, , , , . , , , , . : , .
, (. . , - , {157} . .), , . ., , - , , . .
. 31 |
, . , νεΰσις,. ., , , . , , (. 31) , , , O , , F
PF: PB > BM: MO.
(1) |
, , , O, . ,
(1) |
: = : .
d,
(2) |
OB: d > BM: MO.
d , . BPF
(3) |
PF: PB = OP: PH = OP: d.
=, ,
(4) |
PF: PB = OB: d.
{158}
, (2) ,
|
|
PF: PB > BM: MO.
, , , , νεΰσις, , , .
. 32 |
, , . , , , 1/3 . , -: 0, , 2 a, 3 . . - . - (. 32). , , , , , , , ; -{159} . p a 2/ n, p(2 a)2/ n, p(3 a)2/ n . . , n -, p(na)2/ n. p/ n , , :
(p/ n)[ a 2 + (2 a)2 + (3 a)2 +...+ (na)2].
( ) , , ,
n 3 a 2 < 3[ a 2 + (2 a)2 + (3 a)2 +...+ (na)2].
, p a 2/ n, p(2 a)2/ n . .; : n, 1;
(p/ n)[ a 2 + (2 )2 + (3 )2 +...+ (n 1)2],
, ,
3 a 2 > 3{ a 2 + (2 a)2 +...+ [(n 1) ]2}
(p n 2 a 2/3) > (p/ n){ a 2 + (2 a)2 +...+ [(n 1) a ]2}.
, ,
(p/ n)[ a 2 + (2 a)2 +...+ (na)2]
(p/ n){ a 2 + (2 a)2 +...+ [(n l) a ]2},
p na 2, -{160}, p(na)2/3 (. ., , na, . ., ). p/ n , , , .
(. 33), νεΰσις.1 , - T, -
. 33
, KP.
reductio ad absurdum , , KRP. , KRP. OQ, TRP F
FQ: PQ >1/2 PR: OM, {161}
, ,
FQ: PQ > PO: OT
FQ: PQ = PO: OU,
U O T , OU >È KRP.
:
FQ: PO = PQ: OU,
FQ: PO <È PQ: È KRP
( PQ <È PQ, OU, , > È KRP).
, componendo [ (. . 24 .)],
FO: QO <È KRQ:È KRP.
|
|
-; ,
FO: QO < OQ 1 : OP.
QO , FO < OQ 1, .
, KRP. ,
È KRP = .
, , III . . ., . , , ( νεΰσις), , reductio ad absurdum. , . -{162} , , , , , , . , , , .
, . , -, ; , - , . . , , ; ; (, ) ; . , , . , , , . . ; , , , . . . , ( ) , . , V . , , , ; , . .
, , . 4 {163} . , , , , . (. . 27) . : ( , . . ) , (GCC 0 GC 1 C 0, CBC 0 B 0 C 1 B 1 C 0 B 0, BAB 0 O B 1 A 1 B 0 O . .), , , . , , ( 1 ) ; , , . , reductio ad absurdum , , , , .
|
|
, : , , , (reductio ad absurdum). :
(1) |
. 34 |
y 2/(x (2 a x)) = b 2/ a 2,
:
(2) |
y: y 1 = b: a.
, (1) : , , , . .
(1) (3) (2):
- , : , .
, . , , , . , , ; , . , , . . , .
, , , . . , . , , , , : {165}
, , . , , , , , . - . ó , , .
:
1. , , , , .
2. , , , , .
3. , , , , .
4. , , , , .
, : (φανεροί).
. , . , , . , . , : , -{166}; . (. 202), . , , , , , , ( ); , , .
|
|
, , 8- 9-. , , , , . , .
. 35 |
, . , . (. 35) , , , . a 1/ n . , ( ) , . ., {167} . , , , . . . :
1) , . .
, 2 , 3 , 4 , ..., ;
2) b, . .
a (b + a), 2 a (b +2 a), 3 a (b +3 a),..., na (b + na),
b a + a 2, b 2 a +(2 a)2, b 3 a +(3 a)2,..., b na +(na)2;
3) d
a (d), 2 (d 2 ), 3 a (d 3 ),..., na (d)
d aa 2, d 2 a (2 a)2, d 3 a (3 a)2,..., d na (na)2
, ; . ; , (. 151), , , ,
n 2 a: n 2 a /2 = 2: 1;
, , , , 3/2 . {168}
.
, , , ba + a 2, b ×2 a +(2 )2 . .,
d × a a 2 d 2 a (2 a)2,...
. d /2+ h 2 h ( d , h ), (. . 15)
d a a 2, d 2 a (2 a)2,...
, , , 2 , 3 ,... . ,
+ 2, 2 +(2 )2,...,
. . , ; , , . , . {169}
²
.
, , , . , . , , . ; , , , . , , , ; , .