, , , , (αποδεξεις). , reductio ad absurdum , , , . . , , . , , , 1. , , , , . , , , , . , , , , , - , .
, , {140} , . , . , . , , , , , . ( ) , . . , , , . , . , 2, . , , , ; , , , .
|
|
, . , , , , , - . , -- , , . {141} , , , , , , , () (συμπληρωθέντος), . , , (, συγκείμενος) . , .
, . , , , (, , ). : , , , , , . . . Ζ , Ζ, , , . , . , , . , , , , ; , , , . , , , , .
, , , -{142} , . , , , , , . , , . ; , , . , , , , , , . , , , .
|
|
, . - ; , , . .
, ( ) (XVII XVIII .) . 1906 . - - - , Χ . , , , -{143} . , , , . . .
XVII XVIII . , , , , , , .
, 12+22+32+... (. 151153). , , , ().
, , , , , . , , , . , , , , , , 11/2 , , , . , . ; , 2/3 , 1/3 . {144}
: 1) , , , , , , (. 25).1 2) . , . , (. 26).
|
|
. 25 . 26
, , , , ( , ). , , , ( ), , , -{145} . ( 14) , , : , , ,
. 27,
. .
. 27, b |
. 27. b ABCD; HGFE . EG C'D' ( 27, a) CD , . , , GECDCD', , , , GECD , , 1/4 . GOFE KF ( . 27, b GLF ). : , , {146} . , EGCD, ; MN (. . 27, ), : 1) , MN, , 2) , . MN , L, N. , MN, :
MN NL=NF2,
, |
MN: NL = MN 2 : NF2 = MN 2 : LP2.
(dividendo et permutando):
MN: ML = MN 2 : (MN 2 LP 2),
MN: ML = MN 2 : (MN 2 MK 2) = MN 2 : ( 2 MK 2) =
= MN 2 : MO 2.
, (.27, ), , , , ( MN 2: MO 2). , , ,
MN 2 : MO 2 = MN: ML,
. . , , , -{147} , , EGCD, , . , ; , , , . . , , , . . , , EGCD, . . EGCD, , , . . . , 2/3 EGCD; 2/3 , 1/4 . , 1/6 .
|
|
, , , ( , ); , . , 1/4 , , ; , .
, . (. 78 .). py . (. ) , {148} (. 28); ( MOPN) MN, OP, QR.. : , , ( , = ), , . (2:1), , , ; . , , , , , , , .
. 28 |
, , . , . , , (. 146) , , , , , , , . .
, , ,
a + 2 a + 3 a + 4 a +...+ na,
2 + 2 a + (3 )2 + (4 a)2 +... + (na)2, {149}
. , , : (. . 2) (n +1) , . . ((na)2+ na)/2, (na)2 , (na)2/2.
. 29 |
, , , , b, . ., . , , , . (. 29) , . ( ), , , : ( 1) ; (n 2) 2 ; ( 3) 3 a ( 1) ; (0 ). n +1, ; na (n +1), (+ 1) . , , , ; ,
|
|
S = (n (n + 1) a)/2 = (n 2 a + na)/2.
,
S > n 2 a /2. {150}
n +1 m,
S = ((m 1) ma /2) = (m 2 a ma)/2,
S < m 2 a /2; S < ((n 1)2 a)/2.
, , reductio ad absurdum , S n 2 a /2 , .
, , , , .
a 2+(2 a)2+(3 a)2+...+(na)2.
, +2 a +3 a +..., (. . 3). , , , ., (, , ) .
. , , . , ; , ( 1) , , 2 + [( 1) a ]2, . :
(na)2 = (na)2 = (na)2
(na)2 = [ a +(n1) ]2 = 2 + 2 ( 1) a +[(n 1) a ]2,
(na)2 = [2 + (n 2) a ]2 = (2 a)2+2(2 )(n 2) a +[(n 2) ]2,
.............................................................................
()2 =[( 1) + a ]2 = [(n 1) ]2 + 2(n 1) + 2,
(na)2 = (na)2 = (na) 2. {151}
, :
( +1) (na)2 = 2[ 2 + (2 )2 + (3 )2 +... + (na)2] +
+2 [ a (n 1) + 2 (n 2) +3 a (n 3) a + +...+(n l) a a ].
. , . , , , , , ( +1) , ( +) 2, , ( +1) 3. ;
n 2(n +1) a 3+(n (n +1) a 3)/2.
, , , , , :
3 [ 2 + (2 )2 + (3 )2 +... + (na)2] = n 2(n +1) a 2+(n (n +1) a 2)/2.
, , , .
n 2(n +1) a 2 , ( a 2+(2 a)2+(3 a)2... S).
n 2(n +1) a 2=3 S (n (n +1) a 2)/2.
n 2(n +1) 2=2 S +2[ (n l) +2 (n 2) +3 (n 3) a +...+(na)2].
,
S = (n (n +1) a 2)/2+2[ (n l) +2 (n 2) +3 (n 3) a +...+(n 1) a a ]. {152}
, :
a 2 = a 2,
(2 a)2 = 2 2+2 a 2,
(3 a)2 = 3 a 2+2(2 a 2+ a 2), (4 )2 = 4 2 + 2 (3 2 + 2 2 + 2),
...........................................
(na)2 = na 2+2[(n 1) a 2+(n 2) a 2+...+ a 2)]
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
S = (n (n +1) a 2/2+2[(n 1) a 2+2(n 2) a 2+3(n 3) a 2+...+(n 1) a 2],
.
,
3 Sn = n 3 a 2 + n 2 a 2 + n 2 a 2/2 + na 2/2.
S
3 Sn > n 3 a 2.
(. 20), (n 3 a 3) , .
,
3 Sn 1 < n 3 a 2.
, , , , II (. 30).
. 30
(. . ) , , (. , . 14 .), , , , ; , , , , -{153} , , , , , 1/3 ( ).