Собственная проводимостЬ полупроводника

 

Полупроводник при имеет зону проводимости свободную от электронов и полностью заполненную валентную зону, отделенную запрещенной зоной шириной . В валентной зоне отсутствуют свободные места, куда могли бы переместиться заряды, в зоне проводимости зарядов нет. В результате полупроводник является изолятором.

При тепловое движение перебрасывает электроны через запрещенную зону, в зоне проводимости появляются электроны, в валентной зоне – вакантные места – дырки.

При термодинамическом равновесии химические потенциалы электронов и дырок равны. Энергию отсчитываем от края валентной зоны.

 

 

Зона проводимости . Кинетическая энергия электрона

.

 

Плотность состояний (3.8) для единицы объема

 

.

 

Концентрация электронов n_e мала, газ невырожденный, используем распределение Максвелла

.

Из

,

 

находим число электронов в единице объема с энергией в интервале

. (П.10.4)

 

Концентрация электронов со всеми энергиями

 

.

 

В интеграле заменяем аргумент и интегрируем

 

,

где использовано

.

Получаем

, (П.10.5)

где

.

Для Si при :

 

, , .

 

Эффективную массу электрона выражаем через концентрацию электронов при помощи (П.10.5)

 

.

 

Подставляем в (П.10.4) и находим число электронов в единичном интервале энергии зоны проводимости

 

. (П.10.4а)

 

Результат совпадает с распределением Максвелла по энергии. График показан пунктиром на рисунке.

 

 

Валентная зона e < 0,

,

 

плотность состояний (3.8) дырок h (от англ. hole –«дырка»)

 

.

 

Дырка – это не заполненное электроном состояние валентного уровня, поэтому в валентной зоне

.

 

Из распределения Ферми–Дирака для электронов

 

 

получаем распределение Ферми–Дирака для дырок

 

.

 

Концентрация дырок мала, газ невырожденный, пренебрегаем единицей в знаменателе, получаем распределение Максвелла для дырок

 

.

В результате

. (П.10.6)

 

Концентрация дырок в валентной зоне

 

.

Заменяем и интегрируем

 

,

получаем

, (П.10.7)

где

.

 

Эффективную массу дырки выражаем через концентрацию дырок при помощи (П.10.7)

.

 

Подставляем в (П.10.6) и находим число дырок в единичном интервале энергии валентной зоны

 

. (П.10.6а)

 

График распределения показан пунктиром на рисунке.

Электронейтральность полупроводника означает, что концентрация электронов в зоне проводимости равна концентрации дырок в валентной зоне. Из (П.10.5) и (П.10.7) находим

 

. (П.10.8)

 

Концентрация носителей тока увеличивается с ростом температуры и с уменьшением ширины запрещенной зоны.

Из

 

с учетом (П.10.5) и (П.10.7) получаем

 

.

 

Выражаем химический потенциал

 

. (П.10.9)

При Т ® 0

.

Следовательно:

1. При низкой температуре уровень химического потенциала расположен в середине запрещенной зоны.

2. Чем выше температура, тем сильнее приближается этот уровень к той зоне, где масса частиц и плотность состояний меньше.

3. При равенстве эффективных масс электронов и дырок уровень расположен в середине запрещенной зоны при любой температуре.