Электронный газ металла и полупроводника

 

В узлах кристаллической решетки металла находятся положительные ионы. Волновые функции валентных электронов соседних атомов перекрываются. Межатомное взаимодействие приводит к расщеплению верхних уровней на множество подуровней. Каждый уровень создает зону с квазинепрерывным спектром. В результате валентные электроны перемещаются по кристаллу, образуя идеальный газ квазичастиц, характеризующихся эффективной массой. При отсутствии магнитного поля на каждом подуровне могут быть 0, 1 или 2 электрона, отличающиеся проекциями спина.

 

Трехмерный электронный газ

 

Распределение электронов по энергии. В единице объема, в единичном интервале энергии около значения e, находится число электронов

.

 

Плотность состояний в единице объема (3.8а)

 

, ,

и распределение Ферми

дают

. (4.21)

 

 

Площадь под кривой равна концентрации электронов.

 

Энергия, импульс и температура Ферми. При получаем

 

,

 

,

 

, .

Концентрация электронов

 

.

 

Находим энергию Ферми

, (4.22)

 

,

плотность состояний на уровне Ферми

 

. (4.23)

Для типичного металла постоянная решетки, концентрация электронов, энергия Ферми и плотность состояний равны:

 

,

 

,

 

,

.

 

Импульс Ферми равен наибольшему импульсу электрон в газе при абсолютном нуле температуры

 

, (4.24)

скорость Ферми

.

 

Принцип Паули препятствует размещению частиц в области фазового пространства с малыми значениями импульса, которая уже занята другими частицами, поэтому pF увеличивается с ростом концентрации частиц.

Если бы принцип Паули перестал действовать, то для получения энергии Ферми потребовалась бы температура, называемая температурой Ферми:

. (4.25)

 

Сравниваем ее с критической температурой вырождения (4.19а)

,

И получаем

.

Для металлов первой группы таблицы Менделеева

 

Металл	n, 1022 см–3	m/m 0	eF, эВ	T F, 104К
Na Cs Cu Ag	2,5 0,91 8,45 5,85	1,0 0,98 0,99 1,01	3,24 1,58 7,00 5,48	3,77 1,83 8,12 6,36

Поверхность Ферми является изоэнергетической поверхностью в пространстве квазиимпульса

.

 

Эта поверхность ограничивает область состояний, занятых электронами при , от области, где нет электронов. Для свободного электронного газа поверхность Ферми является сферой радиусом

 

.

 

Приблизительно форму сферы имеет поверхность Ферми щелочных металлов Na, K, Rb, Cs, у которых достаточно велико расстояние от сферы Ферми до края первой зоны Бриллюэна. В общем случае поверхность Ферми в кристалле имеет сложную многосвязную форму. Это вызвано дифракцией и интерференцией волны де Бройля в кристаллической решетке.