Оценка и критика эпистемологии Брауэра

В настоящем разделе я хочу отдать дань уважения Л. Э. Я. Брауэру[16]. Было бы самонадеянным для меня хвалить и тем более самонадеянным критиковать Брауэра как математика. Однако, возможно, мне будет позволительно критиковать его эпистемологию и его философию интуиционистской математики. Я осмеливаюсь на это только в надежде сделать вклад, каким бы он ни был маленьким, в прояснение и дальнейшее развитие идей Брауэра.

В своей лекции 1912 года Брауэр начинает с Канта. Он говорит, что в свете неевклидовой геометрии интуиционистская философия геометрии Канта, то есть его концепция чистой интуиции пространства, должна быть отброшена. Однако, говорит Брауэр, нет необходимости делать это, так как мы можем арифметизировать геометрию: мы можем прямо основываться на кантовской теории арифметики и на его концепции, что арифметика опирается на чистую интуицию времени.

Я чувствую, что эта позиция Брауэра больше не может быть принята. Ибо если мы говорим, что кантовская теория пространства сокрушена, перечеркнута неевклидовой геометрией, тогда мы должны сказать, что его теория времени сокрушена специальной теорией относительности, так как Кант говорит совершенно явно, что имеется только одно время и что интуитивная идея (абсолютной) одновременности является решающим аргументом в этом отношении[17].

Можно было бы утверждать, подобно тому, как это делал Гейтинг[18], что Брауэр не смог бы развить свои эпистемологпческие и философские идеи об интуиционистской математике, если бы знал в то время об аналогии между эйнштейновской релятивизацией времени и неевклидовой геометрией. Перефразируя Гейтинга, можно сказать, что это было бы печально.

Однако маловероятно, что на Брауэра оказала сильное впечатление специальная теория относительности. Он мог бы отказаться ссылаться на Канта как на предшественника своего интуиционизма. Но он мог бы сохранить свою собственную теорию личного времени—времени нашего собственного личного и непосредственного опыта (см. [8]). И это никоим образом не. произошло под воздействием понятия относительности, хотя кантовская теория подверглась подобному воздействию.

Таким образом, нет необходимости рассматривать Брауэра как кантианца. Однако мы не можем так легко обособлять его от Канта, ибо идея интуиции у Брауэра и использование им термина «интуиция» не могут быть полностью поняты без анализа такой его предпосылки, как кантовская философия.

Для Канта интуиция есть источник знания. И «чистая» интуиция («чистая интуиция пространства и времени») является неисчерпаемым источником знания: из нее берет начало абсолютная уверенность. Это есть самое важное для понимания идей Брауэра, который явно заимствует у Канта эту эпистемологическую концепцию.

Данная концепция имеет свою историю. Кант взял ее у Плотина, Фомы Аквинского, Декарта и др. Первоначально интуиция означает, конечно, восприятие: это есть то, что мы видим или воспринимаем, если смотрим на некоторый объект или пристально его рассматриваем. Однако начиная по крайней мере уже с Плотина, разрабатывается противоположность между интуицией, с одной стороны, и дискурсивным мышлением—с другой. В соответствии с этим интуиция есть божественный способ познания чего-нибудь лишь одним взглядом, в один миг, вне времени, а дискурсивное мышление есть человеческий способ познания, состоящий в том, что мы в ходе некоторого рассуждения, которое требует времени, шаг за шагом развертываем нашу аргументацию.

Кант защищает (направленную против Декарта) концепцию, состоящую в том, что мы не владеем способностью интеллектуальной интуиции и что по этой причине наш интеллект, наши понятия остаются пустыми или аналитическими, если они в действительности не применены к материалу, который поставляют нам наши чувства (чувственная интуиция), или если они не являются понятиями, сконструированными в нашей чистой интуиции пространства и времени [19]. Только таким путем мы можем получить синтетическое знание a priori: наш интеллект в его существенных чертах дискурсивен, он обязательно должен действовать в согласии с логикой, которая является пустой по своему содержанию, то есть «аналитической».

Согласно Канту, чувственная интуиция предполагает чистую интуицию: наши чувства не могут делать свою работу, не упорядочивая свои восприятия в рамках пространства и времени. Таким образом, пространство и время предшествуют всей чувственной интуиции; теории пространства и времени—геометрия и арифметика — также верны a priori. Источник их априорной верности есть человеческая способность чистой интуиции, которая строго ограничена лишь этой областью и четко отличается от интеллектуального или дискурсивного способа мышления.

Кант защищает концепцию, что аксиомы математики основываются на чистой интуиции (см. [31, с. 613]): они могут быть «увидены» или «восприняты» в качестве истинных нечувственным способом «видения» или «восприятия». Кроме того, чистая интуиция участвует в каждом шаге каждого доказательства в геометрии (и в. математике вообще)[20]. Чтобы следить за доказательством, нам требуется глядеть на (нарисованный) чертеж. Это «смотрение» является не чувственной, а чистой интуицией, о чем свидетельствует то, что чертеж часто может быть убедительным, даже если будет изображен в довольно грубой манере, а также то, что рисунок треугольника может выступать для нас (в одном рисунке) в виде бесконечного количества возможных вариантов треугольников всех форм и размеров.

Аналогичные рассуждения справедливы и для арифметики, которая, согласно Канту, основывается на счете—процессе, в свою очередь основывающемся, по существу, на чистой интуиции времени.

Эта теория источников математического знания в своей кантовской форме порождает серьезные трудности. Даже если мы примем, что все сказанное Кантом правильно, мы не можем уйти от трудных проблем, ибо евклидова геометрия, независимо от того, использует она чистую интуицию или нет, несомненно, опирается на интеллектуальную аргументацию, логическую дедукцию. Невозможно отрицать, что математика оперирует дискурсивным мышлением. Ход рассуждении Евклида осуществляется шаг за шагом во всех суждениях и во всех книгах: он не постигается в одно-единственное интуитивное мгновение. Даже если мы допустим (ради аргументации) необходимость наличия чистой интуиции в каждом отдельном шаге рассуждении без исключения (а это допущение для современных людей трудно сделать), ступенчатая, дискурсивная и логическая процедура выводов Евклида настолько безошибочна и хорошо известна в целом, найдя подражателей в лице Спинозы и Ньютона, что трудно подумать о том, что Кант мог игнорировать это. Фактически Кант знал все это, вероятно, так же, как любой другой. Однако указанная позиция довлела над ним (1) в силу структуры «Критики чистого разума», в которой «Трансцендентальная эстетика» предшествует «Трансцендентальной логике», и (2) в силу его четкого различения (я должен сказать, что это четкое различение несостоятельно) между интуитивным и дискурсивным мышлением. Распространена точка зрения, что кантовское исключение дискурсивных аргументов из геометрии и арифметики—не просто пробел, а противоречие.

То, что это не соответствует действительности, было показано Брауэром, который заполнил данный пробел. Я имею в виду теорию Брауэра об отношении между математикой, с одной стороны, и языком и логикой — с другой.

Брауэр решил данную проблему тем, что провел четкое различение между математикой как таковой и ее лингвистическим выражением и ее коммуникативной функцией. Математику саму по себе он рассматривал как внелингвистическую деятельность, по существу, деятельность мысленного конструирования на основе нашей чистой интуиции времени. Посредством такого конструирования мы создаем в нашей интуиции, в нашем уме объекты математики, которые впоследствии— после их создания — мы можем попытаться описать или сообщить о них другим. Таким образом, лингвистическое описание и дискурсивная аргументация со своей логикой появляются, в сущности, после математической деятельности: они всегда имеют место только тогда, когда объекты математики—такие, как доказательство, — уже созданы.

Подход. Брауэра решает проблему, которую мы обнаружили в кантовской «Критике чистого разума». То, что на первый взгляд выступает противоречием у Канта, упраздняется самым оригинальным способом посредством концепции, согласно которой мы должны четко различать два уровня: один уровень — интуитивный, мысленный и присущ математическому мышлению, другой — дискурсивный, лингвистический и присущ только коммуникации.

Подобно любой великой теории, ценность этой теории Брауэра проявляется в ее продуктивности. Она одним усилием решает три группы крупных проблем философии математики.

(1) Эпистемологические проблемы об источнике математической достоверности, природы математических данных и природы математического доказательства. Эти проблемы соответственно решены с помощью концепции интуиции как источника знания, концепции о том, что мы можем интуитивно видеть математические объекты, которые конструируем, и концепции о том, что математическое доказательство является последовательным конструированием или построением конструкций.

(2) Онтологические проблемы о природе математических объектов и способе их существования. Эти проблемы были решены Брауэром посредством выдвижения концепции, которая имела два аспекта: с одной стороны, конструктивизм, а с другой стороны, — ментализм. Согласно ментализму, все математические объекты находятся в той сфере, которую я называю «вторым миром». Математические объекты—это конструкции человеческого ума, и они существуют единственно как конструкции в человеческом уме. Их объективность, то есть то, что они суть объекты и что они существуют объективно, всецело опирается на возможность повторения их конструирования по нашему желанию.

Таким образом, Брауэр в своей лекции 1912 года предполагал, что для интуициониста математические объекты существуют в человеческом уме, в то время как для формалиста они существуют «на бумаге»[21].

(3) Методологические проблемы о математических доказательствах.

Мы можем упрощенно различать два главных подхода ученых к математике. Одни математики могут интересоваться главным образом теоремами—истинностью или ошибочностью математических суждений, другие—главным образом доказательствами: вопросами существования доказательств той или иной теоремы и спецификой таких доказательств. Если преобладающим является первый подход (как это имеет место, например, в случае с Пойя), тогда он обычно связан с интересом в открытии математических «фактов» и поэтому с платонизированной математической эвристикой. Если же преобладающим выступает второй подход, тогда доказательства являются не просто средствами формирования уверенности в теоремах о математических объектах, а самостоятельными математическими объектами. Как мне кажется, так обстояло дело с Брауэ-ром: те построения, которые были доказательствами, не только создавали и утверждали математические объекты, они были в то же время сами математическими объектами, возможно даже наиболее важными такими объектами. Таким образом, утверждать некоторую теорему означало утверждать существование некоторого доказательства для нее и отрицать ее означало утверждать существование опровержения, то есть доказательства ее абсурдности. Это непосредственно ведет к отбрасыванию Брауэром закона исключенного третьего, к его отрицанию косвенных доказательств и к требованию, что существование может быть доказано только реальным построением рассматриваемых математических объектов, то есть изображением их, так сказать, видимыми.

Это также ведет к отрицанию Брауэром «платонизма», под которым мы понимаем учение, согласно которому математические объекты обладают тем, что я называю «автономным» способом существования: они. могут существовать, не будучи созданными нами и,. следовательно, без доказательства своего существования.

До сих пор я пытался понять брауэровскую эписте-мологию, исходя из предположения прежде всего, что она проистекает из попытки решить трудности философии математики Канта. Теперь я перейду к тому, что содержится в названии данного раздела, — к оценке и критике брауэровской эпистемологии.

Исходя из положений настоящего доклада, можно утверждать, что одним из великих достижений Брауэра, по моему мнению, является его понимание того, что математика и, как я могу добавить, весь третий мир созданы человеком.

Эта идея является настолько радикально антиплатоновской, что Брауэр, понятно, не видел возможности ее связи с некоторой формой платонизма, под которой я имею в виду концепцию частичной автономии математики и ретьего мира в том виде, как она описана выше, в разд. 3.

Другим великим достижением Брауэра в философском плане был его антиформализм—признание им того, что математические объекты должны существовать до того, как мы можем говорить о них.

Позвольте теперь мне вернуться к критике брауэровского решения трех групп главных проблем философии математики, сформулированных ранее в данном разделе.

(1) Эпистемологические проблемы: интуиция в целом и теория времени в частности.

Я не предлагаю заменить название «интуиционизм». Это название, без сомнения, сохранится, но нам важно отказаться от ошибочной философии интуиции как непогрешимого источника знания.

Не существует авторитетных источников знания, и ни один «источник» не является абсолютно надежным[22] Все приветствуется как источник вдохновения, стимулирования, включая «интуицию», особенно если она предлагает нам новые проблемы. Однако ничто не является несомненным, и все мы подвержены ошибкам.

К тому же следует подчеркнуть, что кантовское четкое различение между интуицией и дискурсивным мышлением не может быть нами принято. «Интуиция», какой бы она ни была, в значительной степени является продуктом нашего культурного развития и наших успехов в дискурсивном мышлении. Кантовская идея об одним стандартном типе чистой интуиции, присущем всем нам (по всей вероятности, только не животным, хотя их перцептуальные возможности сходны с человеческими), едва ли может быть принята. Ибо после того как мы овладели дискурсивным мышлением, наше интуитивное понимание становится весьма отличным от того, что было у нас прежде.

Все сказанное справедливо и в отношении нашей интуиции времени. Я лично считаю сообщение Уорфа о чрезвычайно специфической интуиции времени индейцев племени хопи (см. [55]) убедительным. Однако даже если это сообщение ошибочно (что, я думаю, маловероятно), оно свидетельствует о возможностях, которые ни Кант, ни Брауэр никогда не рассматривали. Если Уорф прав, тогда наше интуитивное понимание времени, то есть способ, которым мы «видим» временные отношения, частично зависит от нашего языка, наших теорий и мифов, включенных в язык, иначе говоря - наша европейская интуиция времени в значительной степени обусловлена греческим происхождением нашей цивилизации с его акцентом на дискурсивное мышление.

В любом случае наша интуиция времени может меняться с изменением наших теорий. Интуиции Ньютона, Канта и Лапласа отличаются от интуиции Эйнштейна, и роль времени в физике элементарных частиц отличается от роли времени в физике твердого» тела, особенно в оптике. В то время как физика элементарных частиц утверждает о существовании лезвиеподобного непротяженного мгновения, «punctum temporis», которое отделяет прошлое от будущего, и тем самым существование временной координаты, образованной из (континуума) непротяженных мгновении, а в конечном итоге мира, «состояние» которого может быть задано для любого такого непротяженного мгновения, ситуация в оптике совершенно другая. Подобно тому как существуют пространственно протяженные растры в оптике чьи части взаимодействуют на значительном пространственном расстоянии, так существуют и протяженные во времени события (волны, обладающие частотами), чьи части взаимодействуют в течение значительного промежутка времени. Поэтому в силу законов, оптики в физике не может быть какого-либо состояния мира в некоторый момент времени. Эта аргументация должна дать и действительно дает совершенно другое понимание нашей интуиции: то, что называлось неопределенным психологическим даром, не является ни неопределенным, ни характерным только для психологии, интуиция подлинна и имеет место уже в физике[23].

Таким образом, не только общая концепция интуиции как непогрешимого источника знания является мифом, но и наша интуиция времени подвержена критике и исправлению - точно таким же образом, как, согласно брауэровскому допущению, это происходит с нашей интуицией пространства.

В главном пункте этих своих рассуждении я обязан философии математики Лакатоса. Этот пункт состоит в том что математика (а не только естественные науки) растет благодаря критике догадок и выдвижению смелых неформальных доказательств, а это предполагает лингвистическую формулировку таких догадок и доказательств и поэтому определение их статус, в третьем мире. Язык, являясь вначале простго средством коммуникативного описания долингвистических объектов, превращается в силу этого в существенную часть научной деятельности, даже в математике, которая в свою очередь становится частью третьего мира. В языке тем самым существуют слои, или уровни (независимо от того, формализованы они в иерархию метаязыков или нет).

Если бы интуиционистская эпистемология была бы права, то вопрос о математической компетентности не составлял бы проблемы. (И если бы кантовская теория была бы права, то непонятно, почему мы, а точнее, Платон и его школа, должны были так долго ждать Евклида[24].) Однако эта проблема существует, так как даже весьма компетентные математики-интуиционисты могут не соглашаться между собой по некоторым трудным вопросам[25]. Для нас нет необходимости исследовать, какая сторона в этом споре права. Достаточно указать, что раз интуиционистское конструирование подвергается критике, то рассматриваемая проблема может быть решена лишь путем существенного использования аргументативной функции языка. Конечно, критическое использование языка, по существу, не предписывает нам использовать аргументы, запрещенные интуиционистской математикой (хотя и здесь существует проблема, как будет показано ниже). Моя точка зрения в данный момент заключается просто в следующем: раз допустимость предложенного интуиционизмом математического конструирования может быть подвергнута сомнению, и, конечно, оно действительно подвергается сомнению, то язык выступает более чем просто средством коммуникации, без которого можно в принципе обойтись: он является необходимым средством критического обсуждения, дискуссии. Соответственно этому он не представляет собой только интуиционистской конструкции, «которая объективна в том смысле, что она не связана с тем субъектом, который ее создаст» [34, с. 173]. На самом деле объективность даже интуиционистской математики опирается, как это происходит во всех науках, на критикуемость ее аргументации. Это же означает, что язык является необходимым как способ аргументации, как способ критической дискуссии [33].

Сказанное поясняет, почему я считаю ошибочным субъективистскую эпистемологию Брауэра и философское оправдание его интуиционистской математики. Существует процесс взаимного обмена между конструированием, критикой, «интуицией» и даже традицией, и этот процесс не учитывался Брауэром.

Однако я готов допустить, что даже в своем ошибочном взгляде на статус языка Брауэр частично прав. Хотя объективность всех наук, включая математику, неотделимо связана с их критикуемостью и тем самым с их лингвистическим формулированием, Брауэр был прав тогда, когда активно выступал против идеи рассматривать математику лишь как формальную языковую игру или, другими словами, считать, что не существует таких вещей, как внелингвистические математические объекты, то есть мысли (или, более точно, с моей точки зрения, содержание мышления). Он настаивал на том что беседа на математические темы является беседой об этих объектах, и в этом смысле математический язык выступает вторичным образованием по отношению к этим объектам. Однако это вовсе не означает что мы можем конструировать математику без языка: не может быть никакого конструирования без постоянного критического контроля и никакой критики без выражения наших конструктов в лингвистической форме и обращения с ними как с объектами третьего мира. Хотя третий мир не идентичен миру лингвистических форм он возникает вместе с аргументативной функцией языка то есть является побочным продуктом языка. Это объясняет, почему, раз наши конструкции делаются проблематичными, систематизированными и аксиоматизированными, язык может сделаться также проблематичным и почему формализация может сделаться отраслью математического конструирования.

Именно это я думаю, имеет в виду Майхилл, когда он говорит, что "наши формализации исправляют наши ин туиции, в то еремя как наши интуиции формируют наши формализации» [37, с. 175] (курсив мой). То что делает это высказывание заслуживающим цитирования, состоит в том, что оно, будучи сделанным в связи с брауэровской концепцией интуиционистского доказательства, в действительности помогает исправлению брауэровской эпистемологии.

(2') Онтологические проблемы. То, что объекты математики обязаны своим существованием отчасти языку, иногда понималось самим Брауэром. Так, он писал в 1924 году: «Математика основывается («Der Mathematik liegt zugrunde») на бесконечной последовательности знаков или символов («Zeichcn») или на конечной последовательности символов...» [6, с. 244]. Это не следует понимать как допущение приоритета языка: без сомнения, ключевым термином здесь является «последовательность», а понятие последовательности основывается на интуиции времени и на конструировании, опирающемся на эту интуицию. Однако это утверждение показывает, что Брауэр знал о том, что для осуществления конструирования требуются знаки и символы. Моя точка зрения состоит в том, что дискурсивное мышление (то есть последовательность аргументов, выраженных лингвистически) имеет огромное влияние на наше осознание времени и на развитие нашей интуиции последовательного расположения. Это никоим образом не расходится с конструктивизмом Брауэра, но действительно расходится с его субъективизмом и ментализмом, ибо объекты математики могут теперь рассматриваться как граждане объективного третьего мира:

хотя содержание мышления первоначально построено нами (то есть третий мир возникает как продукт нашей деятельности), такое содержание обусловливает своп собственные непреднамеренные следствия. Натуральный ряд чисел, которые мы конструируем, создает простые числа, которые мы открываем, а они в свою очередь создают проблемы, о которых мы и не мечтали. Вот именно так становится возможным математическое открытие. Подчеркнем, что самыми важными математическими объектами, которые мы открываем, самыми благодатными гражданами третьего мира являются именно проблемы и новые виды критических рассуждении. Таким образом, возникает некоторый новый вид математического существования—проблемы, новый вид интуиции—интуиция, которая позволяет нам видеть проблемы и понимать проблемы до их решения (ср. брауэровскую центральную проблему континуума).

Гейтингом был прекрасно описан способ, которым язык и дискурсивное мышление взаимодействуют с более непосредственными интуитивными конструкциями (взаимодействие, разрушающее, между прочим, тот идеал абсолютной очевидной достоверности, которого, как предполагалось, достигает интуитивное конструирование). Можно процитировать начало того отрывка из его работы, который не только стимулировал меня на дальнейшие исследования, но и поддержал мои размышления: «Понятие интуитивной ясности в математике само не является интуитивно ясным. Можно даже построить нисходящую шкалу степеней очевидности. Высшую степень имеют такие утверждения, как 2 + 2 = 4. Однако 1002 + 2 = 1004 имеет более низкую степень; мы доказываем это утверждение не фактическим подсчетом а с помощью рассуждения, показывающего, что вообще (n + 2) + 2 = п + 4... [Высказывания подобно этому] уже имеют характер импликации: «Если построено натуральное число n, то можно осуществить конструкцию выражаемую равенством (n + 2) + 2 = n + 4» [26 с 225] «Степени очевидности» Гейтинга имеют в данный момент для нас второстепенный интерес, а более важным выступает прежде всего исключительно простой и ясный анализ Гейтингом необходимого взаимодействия между интуитивным конструированием и его лингвистическим выражением, которое неизбежно приводит нас к дискурсивному и тем самым к логическому рассуждению. Данный момент подчеркивается Гейтингом, когда он продолжает: «Эта степень может быть формализована в исчислении со свободно переменными» [26, с. 225].

Наконец следует сказать о взаимоотношении Брауэра с математическим платонизмом. Автономия третьего мира несомненна, и поскольку это так, то брауэровское равенство «esse=construi» должно быть отброшено, по крайней мере в отношении проблем. Это, возможно, заставит нас заново пересмотреть проблему логики интуиционизма: не отбрасывая интуиционистских стандартов доказательства, следует подчеркнуть, что для критического рационального обсуждения важно четко различать между тезисом и очевидными свидетельствами в его пользу. Однако это различие разрушается интуиционистской логикой, которая возникает из смешения свидетельства (или доказательства) и утверждения, которое должно быть доказано (см. выше разд. 5.4). (3-) Методологические проблемы. Первоначальным мотивом интуиционистской математики Брауэра была потребность в надежности, уверенности—поиски более верных, надежных методов доказательства, фактически непогрешимых методов. В этом случае, если вы хотите более надежных доказательств, вы должны более строго подходить к использованию демонстративной аргументации: вы должны применять более слабые средства, более слабые предположения. Брауэр ограничивается использованием логических средств, которые были слабее, чем средства классической логики[26]. Доказать теорему более слабыми средствами является (и всегда являлось) в значительной степени интересной задачей и одним из великих источников математических проблем. Этим и обусловлены интересы интуиционистской методологии.

Однако я полагаю, что сказанное справедливо лишь для доказательств. Для критики и опровержения мы не нуждаемся в слабой логике. В то время как органон доказательства может быть достаточно слабым, органон критики должен быть очень сильным. В критике мы не должны быть ограничены тем, что то или иное доказательство невозможно, — мы ведь не утверждаем непогрешимость нашей критики и часто бываем удовлетворены, если можем показать, что некоторая теория имеет контринтуитивные следствия. В органоне критики слабость и экономия не являются добродетелями, ибо добродетель некоторой теории состоит в том, что она может противостоять сильной критике. (Поэтому, по-видимому, в критических дебатах, так сказать в метадебатах о жизненности интуиционистского конструирования, возможно допускать использование классической логики.)