Производные высших порядков. Если функция у=ƒ(х) имеет производную ƒ¢(х), которая, вообще говоря, сама является дифференцируемой функцией

Если функция у=ƒ (х) имеет производную ƒ ¢(х), которая, вообще говоря, сама является дифференцируемой функцией, то производная от ƒ ¢(х) называется производной второго порядка (или второй производной) от функции ƒ (х) и обозначается: у^и, ƒ ¢¢(х), т. е.

 

ƒ ¢¢(х)=(ƒ ¢(х))¢.

Аналогично, производной третьего порядка (третьей производной) от функции ƒ (х) называется производная от второй производной ƒ ¢¢(х), т. е.

 

ƒ ¢¢¢(х)=(ƒ ¢¢(х))¢.

 

Производная четвертого порядка

ƒ ^IV(х) = (ƒ ¢¢¢(х))¢.

Например, для функции

ƒ(х)=2 х ⁶–sin3 x

ƒ¢(x)=12 x ⁵–3 cos 3 x,

ƒ¢¢(x)=12·5 x ⁴–3·(– sin 3 x)·3=60 x ⁴+9 sin 3 x,

ƒ¢¢¢(x)=60·4 x ³+9· cos 3 x ·3=240 x ³+27 cos 3 x,

ƒ^IV(x)=240·3 x ²–27 sin 3 x ·3=720 x ²–81 sin 3 x и т. д.

 

Производную порядка n обозначают:

y^{(n )} или ƒ⁽ⁿ⁾(x).

 

 

Приложения дифференциального исчисления

Были рассмотрены некоторые приложения производной, а именно: задача о касательной к графику функции, отыскание интервалов монотонности функции. С помощью производных вычисляются пределы, приводящие к неопределенностям и .

Правило Лопиталя.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно

больших функций равен пределу отношения их производных.

 

Заметим, что речь идет о дифференцируемых функциях, во-первых, и во-вторых, предел отношения производных вычисляется при том же условии, что и данный предел.

Итак, , если

или =

Пример 1.

Найти следующие пределы

1)

2) т. к. , – бесконечно большая при х®∞

3)

т. к. cos 5π=cos(4π+π)=cos π= –1.

cos 3π=cos(2π+π)=cos π= –1.

 

Рассмотрим случай неоднократного применения правила Лопиталя.

4) .

 

Правило Лопиталя было применено дважды.

Рассмотрим случай, когда правило Лопиталя не приводит к желаемому результату.

5)

Применение правила Лопиталя не позволяет раскрыть эту неопределенность, но предел этот легко вычисляется, если числитель и знаменатель дроби одновременно разделить на х

, т.к. .

Правило Лопиталя помогает раскрыть неопределенности вида 0·∞, ∞–∞.

6)

 

7) ,

т. к.

Экстремум функции

Исследование функции на экстремум – одно из важнейших приложений производных. Рассмотрим определение минимумов и максимумов, и способы их отыскания.

Пусть функция ƒ(х) определена и дифференцируема на некотором множестве и точка х ₀ – точка внутри него.

Определение. Функция ƒ (х) в точке х ₀ имеет максимум (минимум), если

существует такая окрестность точки х ₀, что для всех х из

этой окрестности

ƒ (х) < ƒ (х₀) (ƒ (х) > ƒ (х₀)).

Точка х ₀ называется тогда точкой максимума (минимума).

 

Рис. 25.

 

 

Показан график функции, которая имеет две точки максимума (х ₁ и х ₃) и две точки минимума (х ₂ и х ₄), причем максимальное значение может оказаться меньше минимального (ƒ (х₁) < ƒ (х ₄)). Это подчеркивает тот факт, что мы характеризуем особенность функции только вблизи некоторой точки.

Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремальными значениями или экстремумами. На приведенном графике видно, что точки экстремума (х ₁, х ₂, х ₃, х ₄) определяют интервалы монотонности функции, в каждом из которых производная сохраняет определенный знак. В точках экстремума, понятно, производная обращается в нуль. Сформулируем теорему о необходимом условии существования экстремума.

Теорема. Если функция ƒ (х) в точке х ₀ имеет экстремум, то производная

функции в этой точке равна нулю, т. е. ƒ¢(х ₀)=0.

Заметим сразу, что условие это не является достаточным, т. е. обратное утверждение не всегда верно. Из равенства ƒ ¢(х ₀) = 0 не обязательно следует, что в точке х ₀ существует экстремум.

Подтверждением тому пример с функцией ƒ (х) =х ³.

Найдем ƒ ¢(х) = 3 х ². В точке х =0 ƒ ¢(0)=0. Но как угодно близко к точке х =0 найдем х >0, где ƒ (х) =х³ > 0, найдем х <0, где ¦(х)= х ³<0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки х =0, где для всех х значение функции в точке х =0 будет самым большим или самым малым. Поэтому точка х =0 не является точкой экстремума.

Можно рассуждать иначе. Так как производная ƒ¢(х)=3х², то функция ƒ(х)=х³ возрастает при любых действительных х и экстремумов не имеет.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (ƒ¢(х)=0) называются критическими.

Очевидно, что касательная к графику функции в точках, где ƒ ¢(х)=0, параллельна оси абсцисс Ох.

Достаточное условие экстремума дается в следующих теоремах.

Теорема 1. Если х ₀ – критическая точка функции и при переходе через

нее производная меняет знак, то х ₀ – точка экстремума, а

именно, если производная меняет знак с плюса на

минус – точка максимума, если – с минуса на плюс – точка

минимума.

Заметим, что экстремума в точке нет, если производная не меняет знака. Правило исследования на экстремум с помощью первой производной известно из школьного курса. Достаточное условие экстремума иногда удобнее формулировать с помощью второй производной.

Пусть функция ƒ(х) дважды дифференцируема в некоторой области (т. е. ƒ(х)имеет ƒ¢(х) и ƒ ¢¢(х)).

Теорема 2. Если х ₀ – критическая точка функции ƒ(х) и ƒ ¢¢(х₀) > 0, то

х ₀ – точка минимума, если ƒ¢¢(х₀) < 0, то х ₀ – точка максимума.

С помощью второй производной определяется выпуклость или вогнутость графика функции.