Правила вычисления производных

Производная сложной функции.

Если у =ƒ(и), и=φ (х), то у ¢(х)=ƒ¢ (и)·φ¢ (х).

Производная суммы.

Если у (х)= и (х)+ v (х), то у¢ (х)= и¢ (х)+ v¢ (х)

Производная произведения.

Если у(х)=и (х)· v (х), то у ¢= и¢·v+u·v¢.

В частности, (с · и)¢=с · и ¢, т. е. постоянный множитель выносится из-под знака производной. Легко убедиться, что

(u²)¢= 2 u·u¢, (u³)¢=3u²·u¢, …, (uⁿ)¢=n·u^n–1·u¢.

 

Производная частного. Если , то .

 

Приведем и таблицу производных:

1. (с)¢=0	Для сложной функции: если и=и(х), то:
2. (х)¢=1
3. (хα)¢= α · х α–1, а – любое действительное число. .	3.
4. (ах)¢=ах·ln а	4.
5. (logax)¢= .	5.
6. (sin x)¢=cos x	6.
7. (cos x)¢= –sin x	7.
8. (tg x)¢=	8.
9. (ctg x)¢=	9.
10.	10.
11.	11.
12.	12.
13.	13.

При дифференцировании следующих функций укажем формулы и правила, которыми будем пользоваться.

Найти производные следующих функций.

 

Пример 1.

у=(3–2 sin5x)⁴ |Применяем формулы производных для и^α, sin u |

y¢=4·(3–2·sin5x)³·(3–2sin5x)¢=4·(3–2·sin5x)³·(0–2·cos5x·5) = –40·(3–2·sin5x)³.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

 

Пример 4.

 

 

Пример 5.

.

 

Пример 6.

 

Запишем функцию так, чтобы упростить процесс дифференцирования

 

.

 

Пример 7.

 

 

Пример 8.

 

 

Пример 9.

 

.

 

 

Пример 10.

 

Составить уравнение касательной к параболе у = х ²–4 х в точке, где х =1.

Уравнение касательной у - у ₀=ƒ¢(х ₀)·(х – х ₀), где х ₀, у ₀ – координаты точки касания.

Дано, что х ₀=1. Из уравнения параболы найдем у ₀= у (х ₀)= у (1)=1²–4·1= –3.

Уравнение параболы у = х ²–4 х, т. е. ƒ(х)= х ²–4 х. Найдем ƒ¢(х ₀).

ƒ¢(х)=2 х –4. ƒ¢(х ₀)=ƒ¢(1)=2·1–4= –2.

Уравнение касательной:

у +3= –2·(х –1) или 2 х + у +1=0

Пример 11.

Дана кривая . Составить уравнения касательных к этой кривой, параллельных

а) оси Ох, б) прямой3 х – у –5=0.

Найдем производную от у:

а) Если касательная параллельна оси Ох, то угловой коэффициент ее равен нулю, т. е. производная в точке х ₀ должна быть равна нулю: х ²–4 х +3=0. Решая это уравнение, находим х ₁=3 и х ₂=1. Найдем соответствующие им значения функции:

 

Получены две точки на данной кривой: М₁ (3, –3) и М₂ (1, ).

Касательные – прямые, проходящие параллельно оси Ох, имеют уравнения: у = –3 и у = .

б) Если касательная параллельна прямой 3 х - у -5=0, то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту данной прямой:

 

3 х – у –5=0 или у =3 х –5.

k =3.

Производная у ¢ в точке х ₀ должна быть равна 3.

х ²–4 х +3=3. Решая это уравнение х ²–4 х =0, находим х ₁=0 и х ₂=4.

Найдем соответствующие им значения функции:

у₁=у (0)= –3. у ₂= у (4)= ·4³–2·4²+3·4–3= – .

Уравнение касательной в точке М₁ (0,–3):

у +3=3·(х– 0) или 3 х–у –3=0.

Уравнение касательной в точке М₂ (4, – ):

или 9 х –3 у –41=0.

 

Дифференциал функции

Пусть функция у =ƒ(х) определена на множества Х и дифференцируема в каждой его точке.

Определение. Дифференциалом функции называется произведение

производной функции на приращение аргумента и

обозначается dy или d ƒ(х), т. е.

dy =ƒ ¢(x)·Δx

 

Пусть дана функция у=х. Тогда у ¢=1. Дифференциал этой функции dy= 1 ·Δx, т.е. dx=Δx.

Поэтому формулу дифференциала записывают в виде

 

dy=f¢(x)·dx

Отсюда , т. е. производная есть отношение дифференциалов функции и аргумента. Иногда удобно пользоваться именно таким «определением» производной.