Обзор элементарных функций

Кратко остановимся на основных классах элементарных функций, т. к. все они изучаются в курсе средней школы.

Постоянная функция:

ƒ(х)= с.

 

График ее – прямая у=с.

Степенная функция:

 

ƒ(х)= х ⁿ,

где n – любое число.

При n четном степенная функция является четной, при n – нечетном – функция нечетная.

Приведем графики функций

ƒ(х)= х, ƒ(х)= х ², ƒ(х)= х ³, ƒ(х)= х ⁴.

Рис. 2. Графики степенных функций

 

Многочлен (целая рациональная функция):

ƒ(х)= а ₀+ а ₁ х + а ₂ х ²+ а ₃ х ³+ … + а _n х ⁿ.

Частные случаи этой функции – хорошо известные линейная функция ƒ(х)= ах + b (график ее – прямая) и квадратный трехчлен ƒ(х)= ах ²+ bх + с (график ее – парабола).

Рис. 3. Графики линейных функций

Рис. 4. График квадратного трехчлена у=ах²+bх+с, а > 0.

Дробно-линейная функция:

ƒ(х) . Частным случаем этой функции является обратная пропорциональная зависимость, графиком которой является гипербола .

 

Рис. 5. График дробно-линейной функции.

Показательная функция:

ƒ(х)= а ^х, а >0, а ¹1.

 

 

Эта функция возрастает при а > 1, убывает при 0 < а <1.

Рис. 6. Графики показательных функций.

Логарифмическая функция:

 

ƒ(х)=log_a x, a > 0, а ¹1

 

Рис. 7 График логарифмической функции.

Тригонометрические функции

хорошо известны. Приведем их графики

 

у=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x.

Рис. 8. График y=sin x..

 

Рис. 9. График у=cos x.

Рис. 10. График у=tg x.

Рис. 11. График у=ctg x.

Обратные тригонометрические функции.

Графики этих функций

y=arcsin x, y=arсcos x, y=arсtg x и y=arcctg x

приведены ниже.

Рис. 12. График функции у=arcsin x

Рис. 13. График функции у=arccos x

Рис. 14. График функции у= arctg x

Рис. 15. График функции у=arcctg x

Все рассмотренные функции называют основными (или простейшими) элементарными функциями.

Рассмотрим сложные функции. Пусть функция у =ƒ(х) определена на множестве Х со значениями на множестве У. Пусть на множестве У задана функция z=φ (у), которая всякому значению х из Х сопоставляет значение переменной z, полученное через промежуточное значение переменной у. Поэтому z -функция переменной х:

 

z=φ (ƒ(х)),

с областью определения Х, но зависимость z от х осуществляется через посредство переменной у, которая называется промежуточным аргументом. Итак, переменная z здесь – функция от функции. Функцию такого рода называют сложной функцией (или суперпозицией функций).

Функции, записываемые с помощью конечного числа суперпозиций основных элементарных функций, называют элементарными функциями.

Примеры элементарных функций:

у =lg tg x, , y =(1+ cos ²3 x)³.

Понятно, что чаще приходится иметь дело именно с элементарными функциями.