Свободная энергия, а не свободный доступ

К пивному крану

В последние годы популярность такой научной области, как биологическая

физика, значительно возросла. Без сомнения, это очень хорошо: биология

важна, и физика важна, и на стыке этих двух наук возникает множество важных

и интересных проблем. Однако также неудивительно, что на всем протяжении

своего существования эта область оставалась относительно неразвитой. Если

взять и сравнить учебники начального уровня по физике и биофизике, вы сра-

зу же заметите, как сильно различается используемая терминология.17 Учебни-

ки по физике для начинающих изобилуют такими словами, как «сила», «им-

пульс» и «сохранение», тогда как для книг по биофизике более характерны

термины «энтропия», «информация» и «диссипация».

Различия в терминологии — это лишь отражение абсолютной непохожести

двух подходов. С тех самых пор, как Галилей впервые предложил игнорировать

сопротивление воздуха при изучении падения объектов в гравитационном поле,

физика продолжает исповедовать принцип минимализма, пренебрегая трени-

ем, рассеянием, шумом и всем остальным, что способно невзначай отвлечь нас

от неприкрытого проявления сути простых микроскопических динамических

законов. В биологической физике такой подход недопустим: игнорируя трение,

вы игнорируете саму жизнь. Действительно, существует даже заслуживающее

серьезного рассмотрения альтернативное определение жизни: «жизнь — это

организованное трение».

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

Вы наверняка думаете, что здесь кроется какая-то ошибка. Ведь жизнь на-

целена на поддержание структуры и организации, а трение создает энтропию

и беспорядок. На самом деле обе точки зрения в какой-то мере отражают ис-

тину. Жизнь занимается тем, что создает энтропию в одних местах, для того

чтобы обеспечить структуру и организацию в других. Это урок, который нам

преподал демон Максвелла.

Давайте попробуем разобраться, что же это может означать. В главе 2,

обсуждая второе начало термодинамики, мы упомянули о различии между

«полезной» и «бесполезной» энергией: полезную энергию можно преоб-

разовать в какую-нибудь работу, тогда как бесполезная энергия попросту

бесполезна. Одним из вкладов Джозайи Уилларда Гиббса была формализация

этих понятий путем ввода новой величины, которую он назвал свободной

энергией. Шрёдингер не использовал этот термин в своих лекциях, так как

беспокоился о его возможной двусмысленности: то, что энергия «свободна»,

не означает, что ее можно просто взять и использовать, ничего не отдавая

взамен; это означает, что она доступна для преобразования ее в работу и до-

стижения какой-то цели18 («свобода слова», а не «свободный доступ к пив-

ному крану», как любит говорить гуру свободного программного обеспече-

ния Ричард Столлман). Гиббс понял, что понятие энтропии позволяет точно

поделить полный объем энергии на полезную энергию, которую он назвал

«свободной», и бесполезную:19

полная энергия = свободная энергия +

+ бесполезная (высокоэнтропийная) энергия.

Когда физический процесс создает энтропию в системе с фиксированной

полной энергией, он расходует свободную энергию. Как только запасы свобод-

ной энергии заканчиваются, устанавливается равновесие.

Это один из способов, как можно представлять себе суть живых организ-

мов: они поддерживают порядок в своем локальном окружении (включая

собственные тела), пользуясь преимуществами свободной энергии, и своими

действиями превращают свободную энергию в бесполезную. Если поместить

золотую рыбку в контейнер с водой, где больше ничего нет, то она сохранит

свою структуру (далекую от равновесия с окружающей средой) намного

дольше, чем был бы способен кубик льда; однако в конечном итоге она умрет

от голода. Однако если мы покормим рыбку, то она проживет еще дольше.

С физической точки зрения еда — это банальный источник свободной энер-

гии, которой живой организм может воспользоваться, чтобы поддержать свой

метаболизм.

 

Глава 9. Информация и жизнь

 

 

Получается, что демон Максвелла (вместе со своим контейнером с газом)

являет собой превосходную парадигму того, как работает жизнь. Рассмотрим

чуть более сложную версию истории демона. Возьмем контейнер с газом, раз-

деленный перегородкой, и внедрим его в «среду», которую мы смоделируем

в форме сколь угодно большого объема вещества, пребывающего при посто-

янной температуре, — физики называют это тепловой баней. (Смысл в том,

что среда настолько велика, что взаимодействие с интересующей нас маленькой

системой, в данном случае с контейнером газа, никак не повлияет на ее соб-

ственную температуру.) Несмотря на то что молекулы газа остаются внутри

контейнера, тепловая энергия способна передаваться изнутри наружу и сна-

ружи внутрь; следовательно, если демон примется эффективно разделять газ

на «холодную половину» и «горячую половину», температура в контейнере

немедленно начнет выравниваться из-за взаимодействия с окружающей средой.

Мы считаем, что демон стремится к тому, чтобы в этом конкретном кон-

тейнере равновесие не наступило; он прилагает все усилия для сохранения

высокой температуры в левой части сосуда и низкой температуры в его правой

части (обратите внимание на то, что мы сделали демона главным героем, а не

главным злодеем этой истории). Таким образом, он занимается привычной

сортировкой молекул в зависимости от их скоростей, но теперь он вынужден

заниматься этим постоянно, ведь в противном случае каждая из половин кон-

тейнера придет в равновесие с окружающей средой. Мы уже знаем из преды-

дущего обсуждения, что демон не может выполнять сортировку, не оказывая

воздействия на внешний мир; процесс стирания записей в конечном итоге

создает энтропию. Следовательно, демону требуется бесконечный источник

свободной энергии. Он берет свободную энергию («еду») и использует ее для

стирания записей, производя, таким образом, энтропию и превращая свобод-

ную энергию в бесполезную. Бесполезная энергия затем выбрасывается в фор-

ме тепла (или чего-то еще). Стерев все записи в блокноте, демон снова готов

поддерживать в своем контейнере состояние, далекое от равновесного, — по

крайней мере, до тех пор, пока блокнот снова не наполнится записями, и тогда

цикл опять повторится.

Эта прелестная зарисовка, разумеется, не дает полного описания того, что

мы подразумеваем под идеей жизни, но все же позволяет уловить суть. Жизнь

стремится к поддержанию порядка, несмотря на требования второго начала

термодинамики, будь то фактическое тело живого организма, его психическое

состояние или деяния Озимандии. Делает она это вполне конкретным образом:

уменьшая свободную энергию во внешнем мире. И все это ради того, чтобы

держаться как можно дальше от термодинамического равновесия. Как мы уже

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

 

«

(

 

 

»

 

 

)

 

(

 

)

 

(

 

)

Рис. 9.4. Демон Максвелла как парадигма жизни. Демон поддерживает порядок — разные

температуры в разных половинах контейнера, несмотря на воздействие окружающей среды.

С этой целью он обрабатывает информацию посредством преобразования свободной

энергии в высокоэнтропийное тепло

убедились, эта деятельность тесно связана с идеей обработки информации.

Выполняя свою работу, демон преобразует свободную энергию в информацию

о молекулах в контейнере, которую затем использует для предотвращения вы-

равнивания температур в двух половинах сосуда. На самом базовом уровне

назначение жизни заключается в том, чтобы выжить: организм стремится

к обеспечению бесперебойной работы своей сложной структуры.20 Свободная

энергия и информация — это ключи к достижению данной цели.

С точки зрения естественного отбора существует масса причин, почему

сложные устойчивые структуры могут оказаться предпочтительны в процессе

адаптации; например, глаз — сложная структура, несомненно, вносящая неоце-

нимый вклад в здоровье организма. Однако чем сложнее структуры, тем большие

объемы свободной энергии приходится превращать в тепло только для того,

чтобы поддерживать их невредимыми и функциональными. Такая картина взаи-

мосвязи энергии с информацией позволяет дать логичный прогноз: чем более

сложным будет становиться организм, тем более неэффективно он будет исполь-

зовать энергию для «рабочих» целей — простых механических операций, таких

как бег и прыжки. В то же время он будет тратить много энергии на «профилак-

тику», то есть поддержание механизмов в хорошем рабочем состоянии. Выяс-

няется, что это на самом деле так; что касается реальных биологических организ-

мов, то чем они сложнее, тем менее эффективно расходуют свою энергию.21

 

Глава 9. Информация и жизнь

 

 

Сложность и время

Взаимосвязь энтропии, информации, жизни и стрелы времени порождает

массу интересных тем для исследования, которым, к сожалению, мы не сможем

уделить внимание в этой книге: эволюция, смертность, мышление, сознание,

социум и бесчисленное множество других. Для того чтобы обсудить все эти

вопросы, потребовалась бы отдельная книга, а у нас сейчас иные цели. Однако

прежде чем вернуться на относительно твердую почву традиционной стати-

стической механики, давайте рассмотрим еще один гипотетический вопрос.

Впрочем, не исключено, что новые исследования в ближайшем будущем смогут

пролить на него свет.

По мере развития Вселенной энтропия увеличивается. Это очень простая

зависимость: в начале времен, сразу после Большого взрыва, энтропия была

очень низкой, но с тех пор она выросла и продолжит расти в будущем. Однако,

грубо говоря, помимо энтропии для описания состояния Вселенной в любой

момент времени мы можем использовать такую величину, как сложность, — или

противоположность сложности, то есть простоту. А изменение сложности со

временем происходит совсем не так прямолинейно, как изменение энтропии.

Дать количественную оценку сложности физической ситуации можно

разными способами, но одна характеристика завоевала наибольшую популяр-

ность: это колмогоровская сложность, или алгоритмическая сложность. 22 Данная

величина формализует наше интуитивное представление о том, что простую

ситуацию просто описывать, а сложную ситуацию описать сложно. Количе-

ственной оценкой сложности описания ситуации может служить длина самой

короткой из всех возможных компьютерных программ (на определенном

языке программирования), выдающих описание данной ситуации. Колмого-

ровская сложность представляет собой всего лишь длину такой максимально

короткой компьютерной программы.

Рассмотрим две строки, содержащие цифры; длина каждой строки состав-

ляет ровно миллион символов. В первой строке место каждого символа зани-

мает восьмерка — другие цифры отсутствуют. Вторая строка представляет

собой какую-то последовательность разнообразных цифр, в которой невоз-

можно выделить повторяющийся шаблон:

88888888888888888888...

60462491123396078395...

Первая строка проста, и она характеризуется низкой колмогоровской

сложностью. Суть в том, что эту последовательность могла бы сгенерировать

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

программа, состоящая из одной команды: «напечатать цифру 8 миллион раз».

С другой стороны, во второй строке мы имеем дело со сложной последователь-

ностью. Любая программа, печатающая данную строку, должна содержать не

менее миллиона символов, так как единственный способ описать эту строку —

непосредственно указать каждую цифру. Это определение сложности удобно

использовать для таких чисел, как π или квадратный корень из двух: на первый

взгляд они чрезвычайно сложны, однако в обоих случаях вычислить их с любой

желаемой точностью можно с помощью довольно простой программы, так что

колмогоровская сложность этих чисел низка.

У ранней Вселенной была низкая сложность, потому что ее очень легко

описать. Это было горячее, плотное состояние частиц, крайне однородное на

больших масштабах, расширяющееся с определенной скоростью и включающее

некоторый (поддающийся простому определению) набор разбросанных тут

и там крохотных возмущений плотности. Если не вдаваться в детали, то это

и есть полное описание ранней Вселенной, больше о ней сказать особо нечего.

В далеком будущем сложность Вселенной снова станет низкой: это будет пустое

пространство, содержащее разреженную и продолжающую разрежаться каши-

цу из отдельных частиц. Но между этими моментами — например, прямо

сейчас — все выглядит чрезвычайно сложным. Даже после макроскопического

огрубления невозможно найти простой способ описания иерархических струк-

тур, которые составляют газ, пыль, звезды, галактики и кластеры, не говоря уже

о вещах, происходящих на гораздо более мелком масштабе, таких как наша

экосистема здесь, на Земле.

Таким образом, хотя энтропия Вселенной с течением времени всегда толь-

ко увеличивается, сложность ведет себя намного интереснее: сначала она на-

ходилась на низком уровне, затем возросла до относительно высокого, а после

этого снова снизится. Но почему так происходит? И какие следствия имеет

такой путь эволюции? В голове сразу начинает тесниться масса вопросов. При

каких обстоятельствах сложность начинает возрастать и каковы условия ее

падения? Всегда ли такое поведение наблюдается при изменении энтропии от

низкой до высокой или же другие динамические свойства также играют важную

роль? Является ли возникновение сложности (или «жизни») характерной

чертой эволюции в присутствии градиентов энтропии? Насколько важен тот

факт, что наша ранняя Вселенная была не только простой, но и низкоэнтро-

пийной? Как долго сможет просуществовать жизнь после того, как Вселенная

перейдет в простое, но высокоэнтропийное состояние?23

Цель науки — давать ответы на сложные вопросы, но также одна из ее

задач — находить правильные вопросы. Однако в своих исследованиях про-

 

Глава 9. Информация и жизнь

 

 

блемы жизни мы даже не можем быть уверены в том, что задаем правильные

вопросы. У нас есть целый набор интригующих понятий, которые наверняка

должны сыграть более или менее важную роль в поиске окончательного от-

вета: энтропия, свободная энергия, сложность, информация. И все же пока

мы не в состоянии составить из них цельную картину. Ничего страшного;

наука — это путешествие, в котором самое интересное происходит в пути,

а не по прибытии.

 

Примечания

 

 

 

 

 

 

 

 

Процитировано из работы Tribus, M., McIrvine, E. Energy and Information // Scientific

American, 1971, August, p. 179.

Пруст М. По направлению к Свану. М.: Республика, 1992 (Proust, M. Swann’s Way: In Search

of Lost Time. V. 1 (Du côté de chez Swann: À la recherche du temps perdu) / Trans. by L. Davis.

New York: Penguin Classics, 2004).

Однако с каждым днем мы узнаем все больше и больше. В работе: Schacter, D. L., Addis, D. R.,

Buckner, R. L. Remembering the Past to Imagine the Future: The Prospective Brain // Nature

Reviews Neuroscience, 2007, 8, p. 657–661 вы найдете обзор последних достижений нейро-

биологии, доказывающих, что при реконструкции воспоминаний в человеческом мозге

происходят процессы, удивительно похожие на те, с помощью которых мы представляем

себе будущее.

Albert, D. Z. Time and Chance. Cambridge, MA: Harvard University Press, 2000.

Роулинг Дж. Гарри Поттер и Принц-полукровка. Махаон, 2015 г. (Rowling, J. K. Harry Potter

and the Half-Blood Prince. New York: Scholastic, 2005.)

Callender, C. There is No Puzzle about the Low Entropy Past / In: Contemporary Debates in

Philosophy of Science / C. Hitchcock (ed.). Malden: Wiley-Blackwell, 2004, p. 240–255.

В версии Каллендера это не вы умираете, а Вселенная завершает свое существование, —

просто мне не хотелось смешивать эту историю со сценарием Большого сжатия. На самом

деле хотелось бы видеть больше описаний мысленных экспериментов, в которых будущее

граничное условие выглядит как «вы влюбляетесь» или «вы выигрываете в лотерею».

Дэвис (Davis, J. A. The Logic of Causal Order. Thousand Oaks, CA: Sage Publications, 1985,

p. 11) пишет: «Я сформулирую четыре правила, каждое из которых в действительности

представляет собой специфичное приложение великого принципа причинно-следствен-

ного порядка: “после” не может стать причиной “до”… не существует способа изменить

прошлое… время пронзают однонаправленные стрелы».

Вы найдете гораздо более подробную историю демона Максвелла в других источниках.

Лефф и Рекс (Leff, H. S., Rex, A. F. (eds.). Maxwell’s Demon 2: Entropy, Classical and Quantum

Information, Computing. Bristol: Institute of Physics, 2003) собрали несколько оригиналь-

ных работ. Фон Баэйер (Von Baeyer, H. C. Warmth Disperses and Time Passes: The History

of Heat. New York: Modern Library, 1998) использует демона в качестве проводника по

истории термодинамики. Зайфе (Seife, C. Decoding the Universe: How the New Science of

Information Is Explaining Everything in the Cosmos, from Our Brains to Black Holes. New

York: Viking, 2006) замечательно разъясняет основы теории информации и говорит о ее

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

роли в поисках разгадки этой головоломки. Сами Беннетт и Ландауэр написали о своей

работе в журнале Scientific American (Bennett, Landauer, 1985; Bennett, 1987).

Этот сценарий можно развить. Представьте себе, что контейнер погружен в термальную

баню с газом при температуре T, а стенки контейнера пусть обладают теплопроводностью.

Таким образом, молекула внутри контейнера находится в тепловом равновесии с газом

снаружи. Если бы мы продолжали получать обновленную информацию о том, в какой

половине контейнера пребывает молекула, мы могли бы непрерывно извлекать из нее

энергию, искусно вставляя поршень с нужной стороны. Потеряв энергию вследствие

столкновения с поршнем, молекула снова получала бы ее из бани. То, что мы сейчас опи-

сали, — это вечный двигатель, работающий исключительно на гипотетическом бесконеч-

ном притоке информации (и это в очередной раз подтверждает тот факт, что бесплатной

информации не бывает). Силард сумел даже дать точную количественную оценку энергии,

которую можно извлечь из одного бита информации: kT lg 2, где k — постоянная Больц-

мана.

Удивительно, но как и в начале XIX века, когда множество передовых исследований в об-

ласти термодинамики было проведено людьми, которые ставили перед собой исключи-

тельно практические цели, такие как построение лучших паровых двигателей, прорыв

в информационной теории в XX веке тоже случился благодаря практичным умам, целью

которых было создание лучших коммуникационных систем и компьютеров.

И это заявление тоже можно развить. Так же как Гиббс пришел к определению энтропии,

основанному на вероятности пребывания системы в различных состояниях, мы можем

определить «информационную энтропию» пространства возможных сообщений в тер-

минах вероятности того, что сообщение примет ту или иную форму. Оказывается, фор-

мулы для энтропии Гиббса и информационной энтропии совершенно одинаковые, не-

смотря на то что используемые в них символы трактуются немного по-разному.

О новейших исследованиях вы можете прочитать в работах: Morange, M. Life Explained /

Trans. by M. Cobb, M. DeBevoise. New Haven, CT: Yale University Press, 2008; Regis, E. What

Is Life?: Investigating the Nature of Life in the Age of Synthetic Biology. Oxford: Oxford

University Press, 2009.

Следующий аргумент позаимствован из работы Bunn, E. F. Evolution and the Second Law

of Thermodynamics, 2009, http://arxiv.org/abs/0903.4603, а вдохновением для этого ис-

точника послужила работа Styer, D. F. Entropy and Evolution // American Journal of Physics,

2008, 76, p. 1031–1033. Подробности и дополнительные соображения вы также сможете

найти в статье Lineweaver, C. H., Egan, C. A. Life, Gravity, and the Second Law of Thermodyna-

mics // Physics of Life Reviews, 2008, 5, p. 225–242.

Crick, F. What Mad Pursuit: A Personal View of Scientific Discovery. — New York: Basic

Books, 1990.

Шрёдингер Э. Что такое жизнь? / Пер. с англ. М.: Изд-во иностранной литературы, 1947

(Schrödinger, E. What Is Life? Cambridge: Cambridge University Press, 1944).

«От существующего к возникающему» — это название популярной книги (1980 г.)

бельгийского лауреата Нобелевской премии Ильи Пригожина, который известен как

первооткрыватель диссипативных структур и самоорганизующихся систем в статисти-

ческой механике. См. также: Prigogine, I. Thermodynamics of Irreversible Processes. New

York: John Wiley, 1955; Kauffman, S. A. The Origins of Order: Self- Organization and Selection

 

Глава 9. Информация и жизнь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

in Evolution. Oxford: Oxford University Press, 1993; Avery, J. Information Theory and Evolution.

Singapore: World Scientific, 2003.

Одно из новейших и очень хороших изданий на эту тему: Nelson, P. Biological Physics:

Energy, Information, Life (издание дополненное и исправленное). New York: W. H. Freeman,

2007.

В наше время он бы еще больше опасался этого термина. Поиск в Google по запросу

«свободная энергия» дает множество ссылок на схемы вечных двигателей, а также на

ресурсы, посвященные экологически чистой энергии.

На самом деле неформальные понятия «полезной» и «бесполезной» энергии появились,

конечно же, задолго до Гиббса; его вклад состоял в том, что он связал эти идеи с конкрет-

ными формулами, которые в дальнейшем были доработаны немецким физиком Германом

Гельмгольцем. В частности, то, что мы называем «бесполезной энергией», — это всего

лишь (в формулировке Гельмгольца) температура тела, умноженная на его энтропию.

Таким образом, свободная энергия представляет собой разность между общим объемом

внутренней энергии тела и этой величиной.

В 1950-х годах Клод Шэннон построил «совершенную машину», в основе которой ле-

жала идея, высказанная Марвином Минским. В спящем состоянии машина выглядит как

коробка с единственным переключателем на передней панели. Если щелкнуть этим пере-

ключателем, то раздастся громкое жужжание. Затем крышка приоткроется, и вылезшая

наружу механическая рука переведет переключатель обратно в исходное положение.

После этого рука снова спрячется в коробке, и жужжание прекратится. Какова мораль

этой истории? Например, такова, что стойкость может быть хорошей штукой сама по

себе.

В частности, более массивные организмы, которые чаще всего и более сложные, так как

включают большее число подвижных частей, потребляют больше свободной энергии на

единицу массы, чем более мелкие. См., например, работу Chaisson, E. J. Cosmic Evolution:

The Rise of Complexity in Nature. Cambridge, MA: Harvard University Press, 2001.

Этот и другие количественные характеристики связывают с именами таких ученых, как

Андрей Колмогоров, Рэй Соломонофф и Грегори Хайтин. Подробное обсуждение см.,

например, в работе Gell-Mann, M. The Quark and the Jaguar: Adventures in the Simple and

Complex. New York: W. H. Freeman, 1994.

Некоторые мысли на эту тему изложены в Dyson, F. J., Time Without End: Physics and

Biology in an Open Universe, Reviews of Modern Physics 51 (1979): 447–60; и Adams, F.,

Laughlin, G., The Five Ages of the Universe: Inside the Physics of Eternity, New York: Free

Press, 1999.

 

Г л а в а 10

Повторяющиеся кошмары

 

Природа — это длительная последователь-

ность невообразимых катастроф.

Славой Жижек

 

 

В четвертой книге своего труда «Веселая наука», написанного в 1882 году,

Фридрих Ницше предлагает мысленный эксперимент. Он просит читателя

вообразить такой сценарий, при котором все, что случается во Вселенной,

включая мельчайшие детали наших собственных жизней, однажды повторяет-

ся, и этот цикл воспроизводится снова и снова на протяжении вечности.

Представь себе, что однажды — днем или ночью — к тебе в твоем полнейшем

уединении подкрался демон и говорил тебе: «Ту жизнь, которую ты ведешь

теперь и которую прожил, тебе придется повторить еще раз и еще бесчис-

ленное число раз; и не будет ничего нового, но все та же боль, все те же желания

и мысли, и вздохи, и все невыразимо малые и великие события твоей жизни

пройдут перед тобой в прежнем порядке и прежней последовательности —

и этот паук, и этот лунный свет между деревьями, и этот миг, и я сам.

Вечные песочные часы бытия будут снова и снова перевертываться, и ты

с ними, пылинка из пылинок!»1

Интерес Ницше к бесконечно повторяющейся Вселенной носил по большей

части этический характер. Он интересовался: как бы вам понравилась мысль

о том, что ваша жизнь повторится бессчетное число раз? Погрузились бы вы

в пучину тревоги и отчаяния — в тексте даже упоминается скрежетание зуба-

ми — от подобной ужасающей перспективы или же возликовали бы? Ницше

полагал, что успешной можно назвать такую жизнь, которую вы бы с гордостью

проживали в бесконечном цикле.2

Труд Ницше, разумеется, ни в коем случае не может считаться первоис-

точником идеи циклической Вселенной, или «извечного возвращения». Упо-

минания о ней то тут, то там встречаются во многих древних религиях: в гре-

ческой мифологии, индуизме, буддизме, некоторых аборигенных американских

культурах. Колесо жизни вращается, история повторяется.

Однако вскоре после того, как Ницше предложил своего демона, идея из-

вечного повторения проникла и в физику. В 1890 году Анри Пуанкаре доказал

интригующую математическую теорему, в которой утверждается, что опреде-

 

Глава 10. Повторяющиеся кошмары

 

 

ленные физические системы непременно

возвращаются к любой своей конфигура-

ции бесконечное число раз — нужно лишь

подождать достаточно долго. За этот ре-

зультат ухватился молодой математик по

имени Эрнст Цермело, заявивший, что

данная идея несовместима с предложен-

ным Больцманом выводом второго начала

термодинамики на основе фундаменталь-

ных обратимых законов движения атомов.

В 1870-х годах Больцман сражался

с «парадоксом обратимости» Лошмидта.

В противоположность этому 1880-е годы

были относительно спокойным временем

в истории развития статистической меха-

ники: Максвелл скончался в 1879 году, Рис. 10.1. Анри Пуанкаре, пионер то-

пологии, теории относительности и те-

ории хаоса, позднее президент Бюро

долгот

го им формализма. Однако в 1890-х годах споры разгорелись снова — на этот

раз в форме «парадокса повторения» Цермело. По сей день результаты этих

споров так до конца и не приняты физиками; многие вопросы, поднятые Больц-

маном и его современниками, до сих пор остаются предметом жарких дискус-

сий ученых. В контексте современной космологии вопросы, связанные с пара-

доксом повторения, все еще остаются нерешенными.

 

Хаос Пуанкаре

Оскар II, король Швеции и Норвегии, родился 21 января 1829 года. В 1887 году

шведский математик Гёста Миттаг-Лефлер подал королю идею отметить гря-

дущее шестидесятилетие весьма необычным способом: устроив математическое

соревнование, в котором участникам будут предложены на выбор четыре за-

дачи. Приз получит тот, кто найдет самое оригинальное и творческое решение

любой из них.

Одной из предложенных задач была «задача трех тел». В этой задаче тре-

буется описать движение трех массивных объектов под влиянием взаимного

гравитационного притяжения. (Для двух тел задача решается просто: еще

Ньютон доказал, что планеты движутся по эллиптическим орбитам.) За эту

а Больцман, помимо продвижения своей

научной карьеры, сосредоточил усилия на

технических приложениях разработанно-

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

задачу взялся Анри Пуанкаре, который в тридцать с небольшим лет уже счи-

тался одним из ведущих мировых математиков. Ему не удалось найти решение,

однако он предоставил очерк, демонстрирующий одно критически важное

свойство: орбиты этих планет стабильны. То есть, даже не зная точного реше-

ния, можно быть уверенным в том, что планеты по крайней мере будут вести

себя предсказуемо. Метод Пуанкаре оказался настолько остроумным, что пре-

мию в итоге присудили именно ему, а его статья была подготовлена для публи-

кации в новом журнале Миттага-Лефлера Acta Mathematica. 3

Однако возникла небольшая загвоздка: Пуанкаре допустил ошибку. У Эд-

варда Фрагмена, одного из редакторов журнала, возникли некоторые вопросы

относительно статьи, и в процессе поиска ответов Пуанкаре осознал, что при

построении своего доказательства упустил один важный случай. Подобные

малозаметные ошибки частенько закрадываются в сложные математические

работы, и Пуанкаре взялся за исправление своего очерка. Но стоило ему по-

тянуть за одну ниточку, как все доказательство разошлось по швам. В итоге

Пуанкаре доказал утверждение, прямо противоположное исходному: орбиты

трех тел совсем не были стабильными. Эти орбиты не только не являются пе-

риодическими — они даже примерно не описываются никаким регулярным

поведением. Сегодня, благодаря существованию компьютеров, способных

моделировать любое движение, подобный результат не кажется нам таким уж

удивительным, но в то время это был настоящий шок. Начав с попытки доказать

стабильность орбит планет, Пуанкаре пришел к чему-то совершенно иному:

он изобрел теорию хаоса.

Однако история на этом не заканчивается. Миттаг-Лефлер, уверенный

в том, что Пуанкаре без труда исправит свой удостоенный награды очерк,

поторопился и напечатал его. К тому времени как Пуанкаре сообщил, что не

стоит ждать никаких исправлений, журнал уже был отправлен крупнейшим

математикам по всей Европе. Миттаг-Лефлер тут же телеграфировал в Берлин

и Париж, приказывая уничтожить все копии журнала. В целом ему это удалось,

но не без небольшого скандала в элитных математических кругах по всему

континенту.

В ходе пересмотра своего доказательства Пуанкаре пришел к обманчиво

простому и мощному результату, который сегодня известен под названием

теоремы Пуанкаре о возвращении. Представьте себе, что у вас есть система,

все составляющие которой движутся в какой-то ограниченной области про-

странства, как планеты, вращающиеся вокруг Солнца. Теорема о возвращении

гласит, что если начиная с некоторой конфигурации эволюционировать систе-

му в соответствии с законами Ньютона, то она гарантированно вернется

 

Глава 10. Повторяющиеся кошмары

 

 

к своей первоначальной конфигурации и будет делать это снова и снова, бес-

конечное число раз в будущем.

Кажется, что это довольно очевидно, и, возможно, никто даже не удивляет-

ся этому. Если мы с самого начала предполагаем, что все части нашей системы

(планеты, вращающиеся вокруг Солнца, или молекулы, летающие туда и сюда

внутри контейнера) связаны в ограниченном объеме, а промежуток времени

мы рассматриваем бесконечный, то системе ничего не остается, кроме как воз-

вращаться к одному и тому же состоянию бесчисленное количество раз. А куда

ей деваться?

Однако в действительности все немного сложнее. Главная тонкость за-

ключается в том, что число возможных состояний бесконечно, даже если сами

объекты не убегают на бесконечность.4 Круговая орбита заключена в конеч-

ном объеме, но сама она содержит бесконечное число точек; точно так же

внутри контейнера с газом конечного объема существует бесконечно много

точек пространства. В подобных случаях системы обычно не возвращаются

в состояние, в точности совпадающее с исходным. Пуанкаре пришел к вы-

воду о том, что в этом случае вполне достаточно «почти полного» совпадения.

Если вы заранее объявите, насколько близкими должны быть два состояния,

чтобы их можно было считать неразличимыми, то, согласно доказательству

Пуанкаре, система будет бесконечно много раз оказываться близко к началь-

ному состоянию.

Рассмотрим три планеты внутренней части Солнечной системы: Меркурий,

Венеру и Землю. Венера совершает один оборот вокруг Солнца за 0,61520 года

(примерно 225 дней), тогда как Меркурию для этого требуется 0,24085 года

(около 88 дней). Взгляните на схему, изображенную на рис. 10.2. Мы начинаем

наблюдение с конфигурации, когда все три планеты выстроились в прямую

линию. Пройдет 88 дней, и Меркурий вернется к точке старта, однако Венера

и Земля в это время будут находиться в каких-то других точках своих орбит.

Однако если потратить на ожидание достаточно много времени, то они снова

выстроятся в прямую линию — или линию, очень близкую к прямой. Скажем,

через 40 лет эти три планеты образуют конфигурацию, почти идентичную той,

которую мы наблюдали вначале.

Пуанкаре показал, что так себя ведут все связанные механические системы,

даже те, в которых количество движущихся частей очень велико. Но необходи-

мо помнить о том, что время ожидания, пока система вернется в состояние,

близкое к начальному, по мере увеличения числа частей также увеличивается.

Если бы мы захотели увидеть, как в линию выстроятся все девять планет Сол-

нечной системы,5 нам пришлось бы потратить на ожидание куда больше

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

 

 

Рис. 10.2. Внутренняя часть Солнечной системы, в которой Меркурий, Венера и Земля

находятся на одной линии (внизу), и конфигурация 88 дней спустя (вверху). Меркурий

вернулся в исходное положение, а Венера и Земля находятся в других точках своих орбит

 

40 лет. В какой-то степени это можно оправдать тем, что внешние планеты

медленнее вращаются вокруг Солнца, но главная причина в том, что большему

количеству объектов требуется больше времени, чтобы общими усилиями вос-

создать данную начальную конфигурацию.

Это стоит подчеркнуть: по мере того как число частиц в рассматриваемой

системе увеличивается, время, необходимое для возвращения системы в ис-

ходное положение или близкое к нему, известное под вполне логичным назва-

нием времени возврата, — также возрастает, причем очень быстро, становясь

в итоге невообразимо большим.6 Вернемся еще раз к разделенному перегород-

кой контейнеру с газом, с которым мы играли в главе 8. В контейнере у отдель-

ных частиц каждую секунду есть небольшой шанс перескочить из одной по-

ловины в другую. Очевидно, что если контейнер содержит всего лишь две или

три частицы, то системе не потребуется много времени, для того чтобы вер-

нуться в состояние, с которого все началось. Но если взять контейнер хотя бы

 

Глава 10. Повторяющиеся кошмары

 

 

с шестьюдесятью частицами, мы обнаружим, что время возврата уже становит-

ся сопоставимым с текущим возрастом наблюдаемой Вселенной.

В большинстве реальных объектов содержится куда больше частиц. Время

возврата типичного макроскопического объекта будет составлять по меньшей

мере

101 000 000 000 000 000 000 000 000 секунд.

Это очень много. Для всех частиц в наблюдаемой Вселенной время возвра-

та еще больше — но стоит ли об этом волноваться? Время возврата любого

объекта, достаточно большого, чтобы представлять хоть какой-нибудь интерес,

слишком велико. Мы попросту не в состоянии оценить его с точки зрения на-

шего жизненного опыта. Возраст обозримой Вселенной — всего лишь около

1018 секунд. Если найдется физик-экспериментатор, который предложит до-

бавить в чашку кофе ложку молока и подождать время возврата, чтобы увидеть,

как молоко снова отделяется от кофе, ему придется здорово попотеть, выбивая

финансирование под такой грант.

И все же, если подождать достаточно долго, это случится. Демон Ницше не

ошибается; просто он заглядывает далеко вперед.

 

Цермело против Больцмана

В исходной статье Пуанкаре, где доказана теорема о возвращении, ученый

в основном рассматривает четкий, предсказуемый мир ньютоновской механи-

ки. Однако Пуанкаре также был знаком со статистической механикой, поэтому

он очень быстро осознал, что идея вечного возвращения может показаться

несовместимой с попытками вывести второе начало термодинамики. В конце

концов, второе начало утверждает, что энтропия меняется только в одну сто-

рону: она возрастает. В то же время создается впечатление, что, согласно тео-

реме о возвращении, после того как низкоэнтропийное состояние перейдет

в высокоэнтропийное, нужно всего лишь подождать достаточно долго, и оно

вернется к своему низкоэнтропийному началу. Это означает, что где-то по пути

энтропия должна уменьшиться.

В 1893 году Пуанкаре написал небольшую статью, посвященную исследо-

ванию этого очевидного противоречия. Он подчеркнул, что теорема о возвра-

щении действительно подразумевает, что энтропия Вселенной в конечном

счете начнет уменьшаться:

Я не знаю, было ли замечено то, что английские кинетические теории не могут

выпутаться из указанного противоречия. Согласно этим теориям мир сна-

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

чала стремится к состоянию, в котором он остается долгое время без за-

метных изменений, и это согласуется с опытом. Однако он остается в этом

состоянии не всегда, если теорема, упомянутая выше, не нарушается; он

просто находится в нем чрезвычайно долгое время — время, которое тем

больше, чем более многочисленными являются молекулы. Это состояние будет

не окончательной смертью Вселенной, а своего рода сном, от которого она

пробудится через миллионы миллионов столетий.

Согласно этой теории, для того чтобы наблюдать переход тепла от холод-

ного тела к горячему, вовсе не обязательно обладать острым зрением, разумом

и проворством «демона» Максвелла — для этого достаточно иметь лишь

немного терпения. 7

Под «английскими кинетическими теориями» Пуанкаре предположитель-

но понимал работы Максвелла, Томсона и других — никакого упоминания

о Больцмане (или, если уж на то пошло, Гиббсе). По этой ли причине или про-

сто потому, что данная статья не попалась ему на глаза, но Больцман так никог-

да и не ответил Пуанкаре напрямую.

Однако идея не была забыта. В 1896 году Цермело выдвинул простое возра-

жение (ссылаясь именно на длинную статью Пуанкаре 1890 года, где формули-

ровалась теорема о возвращении, а не на его более короткую статью 1893 года),

которое теперь носит название возражения Цермело о возвращении.8 Несмотря

на известность Больцмана, в конце XIX века атомная теория и статистическая

механика в немецкоговорящем мире были далеко не так популярны, как в англо-

язычных странах. Как и многие другие немецкие ученые, Цермело считал второе

начало термодинамики абсолютным законом природы; энтропия замкнутой

системы всегда, а не просто большую часть времени увеличивается или остается

постоянной. Но теорема о возвращении недвусмысленно предполагает, что если

энтропия сначала увеличивается, то со временем, когда система вернется к ис-

ходной конфигурации, ей непременно придется уменьшиться. Вывод, который

из этого сделал Цермело, заключался в том, что система взглядов статистической

механики в корне неверна; поведение теплоты и энтропии невозможно свести

к движению молекул, подчиняющихся законам Ньютона.

Позднее Цермело завоюет славу в математическом сообществе как один из

основателей теории множеств, но в то время он был студентом, постигающим

науку под руководством Макса Планка, и Больцман не принял всерьез возра-

жения юного выскочки. Он снизошел до ответа, не проявив, впрочем, особой

терпимости:

Работа Цермело показывает, что мои статьи были поняты неправильно;

тем не менее мне доставляет удовлетворение ее появление, поскольку она, по-

 

Глава 10. Повторяющиеся кошмары

 

 

видимому, является первым свидетельством того, что эти статьи вообще

обратили на себя какое-то внимание в Германии.

Теорема Пуанкаре, которую Цермело разъясняет в начале своей работы, вне

всякого сомнения, правильна, однако применение им этой теоремы к теории

теплоты является неверным.9

Вот оно как! В ответ Цермело написал еще одну статью, и на нее Больцман

также дал ответ.10 Но в действительности эти двое говорили о разных вещах,

так что к выводу, одинаково устраивающему обе стороны, им прийти так и не

удалось.

В то время Больцман полностью разделял идею о том, что второе начало

термодинамики — по своей природе статистический закон, но никак не абсо-

лютный. Основная мысль его ответа Цермело заключалась в том, что необхо-

димо отделить теорию от практики. В теории, Вселенная может брать начало

в низкоэнтропийном состоянии, доходить до термического равновесия, а затем,

повторяя свое развитие в обратную сторону, снова возвращаться к состоянию

с низкой энтропией. Это следует из теоремы Пуанкаре, и Больцман не отрицал

этого. Но фактическое время ожидания было бы невероятно долгим, намного

больше, чем «возраст Вселенной», как мы понимаем его сегодня, и, опреде-

ленно, выходящим далеко за рамки любых временных интервалов, которые

рассматривались учеными XIX столетия. Больцман утверждал, что выводы из

теоремы о возвращении следует считать забавным математическим курьезом,

который тем не менее никоим образом не может быть применим к реальному

миру.

 

Проблемы вечной Вселенной

В главе 8 мы обсуждали возражение Лошмидта об обратимости, высказанное

им в ответ на H -теорему Больцмана: невозможно с помощью обратимых за-

конов физики прийти к необратимым результатам. Другими словами, суще-

ствует столько же высокоэнтропийных состояний, энтропия которых будет

уменьшаться, сколько и низкоэнтропийных, энтропия которых будет возрастать,

так как соответствующие траектории получаются всего лишь изменением на-

правления времени. (К слову, количество ни тех ни других не может сравнить-

ся с числом высокоэнтропийных состояний, которые сохранят свою высокую

энтропию.) Правильным ответом на данное возражение, по крайней мере

в нашей наблюдаемой Вселенной, является принятие гипотезы о прошлом, то

есть дополнительного постулата, доминирующего над динамическими закона-

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

ми природы и утверждающего, что ранняя Вселенная обладала чрезвычайно

низкой энтропией.

К тому времени, когда началось их противостояние с Цермело, Больцман

и сам уже пришел к осознанию этого. Он назвал свою версию гипотезы о про-

шлом «предположением A» и писал о нем так:

Второе начало будет объяснено на уровне механики с помощью предположе-

ния A (разумеется, недоказуемого) о том, что Вселенная, если рассматривать

ее как механическую систему, — или, по крайней мере, очень большая часть

ее, окружающая нас, — началась с чрезвычайно маловероятного состояния

и до сих пор находится в чрезвычайно маловероятном состоянии. 11

В этом коротком отрывке слова Больцмана выглядят весьма решительно

и однозначно, но в действительности в контексте данной статьи он предлагает

несколько разных объяснений, почему энтропия вокруг нас увеличивается,

и это всего лишь одно из них. К тому же обратите внимание на то, как он осто-

рожен: не только заранее соглашается, что предположение недоказуемо, но и не

берется рассматривать всю Вселенную, ограничиваясь лишь «очень большой

частью [Вселенной], окружающей нас».

К сожалению, эта стратегия не очень эффективна. Возражение Цермело

о возвращении тесно связано с возражением об обратимости, и все же между

ними существует важное различие. Возражение об обратимости всего лишь

указывает на существование равного количества эволюций с увеличением

энтропии и с уменьшением энтропии; в возражении о возвращении же гово-

рится, что процессы с уменьшением энтропии в конечном счете будут проис-

ходить когда-то в будущем. Это означает, что энтропия системы не просто

может уменьшаться: если подождать достаточно долго, то такое развитие со-

бытий гарантировано! Это более сильное утверждение, и если мы хотим от-

ветить на него, то нам потребуются намного более сильные аргументы.

Для защиты от проблем, порождаемых возвращением, гипотеза о прошлом

нам не помощник. Предположим, мы согласны, что в какой-то момент недав-

него прошлого — возможно, миллиарды лет назад, но не так давно, чтобы это

время было сравнимо со временем возврата, — Вселенная обнаружила себя

в состоянии чрезвычайно низкой энтропии. После этого, как учит Больцман,

энтропия должна начать увеличиваться, и на это уйдет время, намного меньшее

времени возврата. Однако если Вселенная действительно вечна, то это не

должно играть никакой роли. В конце концов, энтропия обязательно начнет

уменьшаться, пусть нам и не посчастливится наблюдать это своими глазами.

Таким образом, возникает вопрос: почему же так сложилось, что мы живем

 

Глава 10. Повторяющиеся кошмары

 

 

именно на этом конкретном отрезке истории Вселенной, в относительно не-

большой окрестности низкоэнтропийного состояния? Почему не в каком-то

более «естественном» периоде жизни Вселенной?

Последний вопрос, особенно слово «естественный», открывает настоящий

ящик Пандоры. Главная проблема заключается в том, что, согласно постулатам

ньютоновской физики, у Вселенной нет «начала» или «конца». Нам, жителям

XXI века, с нашими пост-эйнштейновскими взглядами, идея о том, что Вселен-

ная началась с Большого взрыва, знакома и привычна. Но Больцман и Цермело,

а также их современники, не знали об общей теории относительности и не

слышали о расширении Вселенной. С их точки зрения пространство и время

были абсолютными, а Вселенная существовала всегда. У них не было возмож-

ности замять эти неудобные вопросы, прикрывшись Большим взрывом.

Здесь и кроется проблема. Если Вселенная действительно вечна и не имеет

ни начала, ни конца, то какой в этом случае смысл несет гипотеза о прошлом?

Раньше, в прошлом, был какой-то момент, когда энтропия была невелика. А что

было до того? Она оставалась на этом низком уровне бесконечно долгое время,

пока не произошел какой-то процесс, заставивший энтропию расти? Или

раньше энтропия уже когда-то была велика? Однако в таком случае как объ-

яснить наличие этого особого, низкоэнтропийного момента посередине

истории Вселенной? Похоже, мы попали в тупик: если Вселенная вечна, а пред-

положения, лежащие в основе теоремы о возвращении, верны, то энтропия не

может увеличиваться бесконечно; по завершении периода возрастания она

должна пойти вниз, и так снова и снова в бесконечном цикле.

Существует по меньшей мере три способа разрешения этой дилеммы, и все

они были упомянуты Больцманом.12 (Он был убежден в своей правоте, но

никак не мог остановиться на одном-единственном обосновании, постоянно

изменяя свое мнение.)

Во-первых, у Вселенной действительно могло быть «начало», включающее

низкоэнтропийное граничное условие. По всей видимости, именно это Больц-

ман подразумевал в контексте упомянутого выше «предположения A», хотя

в явном виде никогда не формулировал. Но на тот момент утверждение о том,

что у времени есть начало, было бы сродни революции, так как это было от-

клонение от основных физических законов в том виде, как их заложил Ньютон.

Сегодня подобное отклонение присутствует в нашем инструментарии в форме

общей теории относительности и Большого взрыва, но ученым 1890-х годов

эти идеи были недоступны. Насколько мне известно, никто из современников

Больцмана не отнесся к проблеме низкой энтропии в начале Вселенной до-

статочно серьезно, чтобы сделать явное предположение о существовании начала

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

времен и о том, что что-то вроде Большого взрыва действительно могло про-

изойти.

Во-вторых, предположения, лежащие в основе теоремы Пуанкаре о воз-

вращении, могут попросту не соответствовать условиям реального мира.

В частности, Пуанкаре предполагал, что пространство состояний каким-то

образом ограничено и что частицы не могут улетать в бесконечность. Это

звучит как техническое предположение, но почему бы глубокой истине не

скрываться под личиной технического предположения? Больцман также счи-

тает это одной из возможных лазеек:

Если сначала принять число молекул равным бесконечности и позволить

времени движения становиться очень большим, то в подавляющем большин-

стве случаев получается кривая [для энтропии как функции времени], которая

асимптотически приближается к оси абсцисс. Как легко видеть, теорема

Пуанкаре в этом случае неприменима. 13

Однако на самом деле он не принимал этот вариант всерьез. Да и не должен

был, так как в данном случае подвергается сомнению строгое следствие из тео-

ремы о возвращении, а не ее базовая суть. Если средняя плотность частиц

в пространстве отлична от нуля, то в нем будут встречаться всевозможные

маловероятные флуктуации, включая низкоэнтропийные состояния; просто

в флуктуациях в разные моменты времени обычно участвуют разные наборы

частиц, поэтому возвращения, строго говоря, не происходит. Для этого сцена-

рия характерны все проблемы истинно возвратной системы.

Третий вариант ответа на возражение о возвращении — это даже не побег,

это полная капитуляция. Мы признаем, что Вселенная вечна и что возвращение

происходит, то есть во Вселенной наблюдаются периоды, когда энтропия воз-

растает, и периоды, когда она убывает. И мы просто говорим: да, это та Вселен-

ная, в которой мы живем.

Давайте теперь рассмотрим все три возможности в контексте современно-

го мышления. Многие современные космологи, хотя зачастую и неявно, под-

писываются под одной из разновидностей первого варианта, объединяя за-

гадку низкоэнтропийных начальных условий с загадкой Большого взрыва. Это

вполне жизнеспособная перспектива, хотя в ней слегка разочаровывает не-

обходимость мириться с тем фактом, что состояние Вселенной в начале времен

выходит за рамки физических законов. Второй вариант — во Вселенной бес-

конечное множество частиц, а теорема о возвращении попросту не работает —

позволяет отвертеться от технических условий теоремы, но не помогает понять,

почему наша Вселенная именно такая, какой она выглядит сейчас. Можно было

 

Глава 10. Повторяющиеся кошмары

 

 

бы рассмотреть вариацию данного подхода, где во Вселенной существует лишь

конечное множество частиц, но есть тем не менее бесконечное пространство

для эволюции. Тогда возвращения действительно отсутствовали бы, а энтропия

бы увеличивалась, не зная границ, далеко в прошлое и далеко в будущее. Это

несколько напоминает сценарий Мультиленной, о котором я выскажусь чуть

далее. Однако, насколько мне известно, ни Больцман, ни его современники не

придерживались такой точки зрения.

Третий вариант — что возвращения действительно происходят во Вселен-

ной, где мы живем, — не может быть верен, в чем мы скоро убедимся. Ошибки,

доказывающие его несостоятельность, позволяют извлечь несколько ценных

уроков.