Другие энтропии, другие стрелы

В наших рассуждениях мы дали четкие определения энтропии и стрелы време-

ни. Энтропия — это число состояний, неразличимых с точки зрения макро-

скопического наблюдателя, а стрела времени возникает, потому что во всей

обозримой Вселенной энтропия непрерывно увеличивается. Несмотря на то

что, формулируя эти определения, мы отталкивались от свойств реального

мира, другие люди, употребляя те же самые термины, могут подразумевать

что-то совершенно иное.

Определение энтропии, с которым мы работаем, — то самое, что выграви-

ровано на могильной плите Больцмана, — связывает с каждым индивидуальным

микросостоянием определенную энтропию. Главная особенность этого опре-

деления — его двухэтапность. Сначала мы принимаем решение о том, что же

можно считать «макроскопически неразличимыми» характеристиками со-

стояния, а затем на основании этого разбиваем все пространство состояний

на части — набор макросостояний. Для вычисления энтропии микросостояния

мы берем общее число макроскопически неотличимых от него микросостояний

и вычисляем ее логарифм.

Однако обратите внимание на то, что здесь происходит кое-что очень ин-

тересное. Пусть некоторое состояние эволюционирует с течением времени из

низкоэнтропийной области в высокоэнтропийную. Пусть мы потеряли всю

информацию об этом состоянии, кроме макросостояния, которое оно проходит

в данный момент времени. Тогда со временем мы будем обладать все меньшей

информацией о микросостоянии, которое рассматриваем. Другими словами,

когда нам говорят, что система принадлежит определенному макросостоянию,

вероятность того, что она находится в конкретном микросостоянии из этого

макросостояния, с увеличением энтропии уменьшается — просто потому, что

число вариантов стремительно возрастает. Точность нашей информации о со-

стоянии — насколько верно мы определили микросостояние — уменьшается

по мере того, как энтропия увеличивается.

 

Глава 8. Энтропия и беспорядок

 

 

Это подразумевает необходимость иного подхода к определению энтро-

пии, и альтернативный взгляд традиционно связывают с именем Джозайи

Уилларда Гиббса (в действительности Больцман исследовал похожие опреде-

ления, но нам удобнее ассоциировать новый подход именно с Гиббсом, по-

тому что у Больцмана уже один есть). Вместо того чтобы рассматривать эн-

тропию как характеристику состояний, а именно числа других состояний,

макроскопически неотличимых от рассматриваемого, — мы могли бы считать

энтропию мерой того, что нам известно о состоянии. В больцмановском

подходе сведения о том, в каком макросостоянии мы находимся, по мере

увеличения энтропии теряют информативность: мы не понимаем, о каком

микросостоянии идет речь. Гиббс то же самое рассматривает с другой сто-

роны, и у него энтропия определяется в терминах того, как много мы знаем.

Вместо того чтобы фильтровать пространство состояний, мы начинаем с рас-

пределения вероятностей, указывающего для каждого возможного микро-

состояния шанс, что система действительно сейчас находится в нем. Также

Гиббс дает нам формулу, аналогичную больцмановской, для расчета энтропии,

связанной с данным распределением вероятностей.18 Ничего огрублять не

приходится.

И все же ни больцмановскую формулу для энтропии, ни формулу Гиббса

нельзя назвать «правильной». Мы сами вводим эти определения, манипули-

руем ими и используем для того, чтобы лучше понять мир; у каждой свои

преимущества и недостатки. Формулу Гиббса часто применяют в прикладных

задачах по одной простой причине: ее проще использовать. Поскольку огру-

бление отсутствует, дискретного изменения значения энтропии при пере-

ходе системы от одного макросостояния к другому не происходит — это

важное преимущество, упрощающее решение уравнений.

Однако подход Гиббса обладает двумя заметными недостатками. Один из

них эпистемологический: идея «энтропии» здесь связывается с нашими зна-

ниями о системе, а не с самой системой. У людей, старающихся с большой

осторожностью рассуждать о том, что же такое на самом деле энтропия, это

продолжает вызывать страшную головную боль, и споры насчет обоснован-

ности этого подхода не утихают. Но тот подход, которого я решил придер-

живаться в этой книге: считать энтропию характеристикой состояния, но не

характеристикой наших знаний о нем, — вроде бы позволяет избежать боль-

шинства проблемных вопросов.

Второй недостаток куда значительнее: если вам известны законы физики

и вы примените их для изучения эволюции «энтропии Гиббса» с течением

времени, вы обнаружите, что ее величина не меняется. Если вдуматься, то ни-

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

какой ошибки здесь нет. Энтропия Гиббса описывает то, насколько хорошо мы

понимаем текущее состояние системы. Однако при условии обратимости

физических законов данная величина меняться не будет, ведь информация не

возникает и не разрушается. Для того чтобы энтропия увеличивалась, в будущем

у нас должно стать меньше сведений о состоянии системы, чем есть сейчас; но

мы всегда можем прокрутить пленку назад и посмотреть, что было раньше,

поэтому такая ситуация невозможна. Вывести второе начало термодинамики

или что-то подобное, придерживаясь подхода Гиббса, можно только в том

случае, если «забыть» часть информации о движении. Но если копнуть по-

глубже, то станет очевидно, что с философской точки зрения это то же самое,

что огрубление, с которым мы имели дело в больцмановском подходе; просто

мы перенесли процедуру «забывания» из пространства состояний на уравне-

ния движения.

Тем не менее практическая польза формулы Гиббса для определенных

приложений не вызывает сомнения, и ученые продолжают активно пользо-

ваться ею. Однако и это еще не конец истории; существует несколько других

известных подходов к изучению энтропии, а в литературе непрерывно про-

должают появляться упоминания о новых. Ничего странного в этом нет;

в конце концов, определения Больцмана и Гиббса должны были заменить

вполне достойное определение энтропии, данное Клаузиусом, но оно и по

сей день используется под названием термодинамической энтропии. После

появления на сцене квантовой механики Джон фон Нейман предложил фор-

мулу для энтропии, особым образом адаптированную под квантовый мир.

Клод Шеннон сформулировал определение энтропии, очень близкое по духу

к гиббсоновскому, однако в рамках информационной теории, а не физики —

об этом мы поговорим в следующей главе. Смысл не в том, чтобы найти одно-

единственное истинное определение энтропии. Ученые придумывают по-

нятия, служащие полезным целям в определенных случаях, и это абсолютно

нормально. Не позволяйте никому одурачить вас заявлениями о «единствен-

но верном определении», уникальным образом раскрывающем суть такого

явления, как энтропия.

Точно так же, как существует несколько определений энтропии, есть мно-

жество различных «стрел времени» — еще один потенциальный источник

мошенничества. Мы рассматривали термодинамическую стрелу времени,

определяемую энтропией и вторым началом термодинамики. Но можно также

говорить о космологической стреле времени (Вселенная расширяется), пси-

хологической стреле времени (мы помним прошлое, но не будущее), стреле

времени излучения (электромагнитные волны расходятся прочь от движущих-

 

Глава 8. Энтропия и беспорядок

 

 

ся зарядов, а не притягиваются к ним) и т. д. Все это разнообразие стрел вре-

мени естественным образом подразделяется на несколько категорий. Часть из

них, например космологическая стрела, отражает факты об эволюции Вселен-

ной, но тем не менее обладает свойством обратимости. Вполне возможно, что

окончательное объяснение термодинамической стрелы времени также рас-

кроет нам глаза на космологическую стрелу (и это действительно кажется

весьма вероятным); в то же время с точки зрения микроскопических законов

физики расширение Вселенной не представляет никакой загадки в отличие от

увеличения энтропии. Другие стрелы, отражающие поистине необратимые

процессы, — психологическую стрелу, стрелу излучения и даже стрелу, опре-

деляемую квантовой механикой, мы будем исследовать позже. Все они кажутся

отражениями одних и тех же глубинных причин, характеризуемых изменением

энтропии. Разобраться в подробностях, как они все взаимосвязаны, несомнен-

но, важно и интересно, однако я продолжу использовать термин «стрела вре-

мени», имея в виду одну конкретную стрелу — ту, что основывается на увели-

чении энтропии.

 

Доказательство второго

Начала термодинамики

После того как Больцману открылся смысл энтропии как меры количества

микросостояний, соответствующих выбранному макросостоянию, он поставил

себе новую цель: уже на этом уровне понимания установить происхождение

второго начала термодинамики. Я уже рассказывал об основных причинах,

почему второе начало действительно работает: состояний с высокой энтропи-

ей намного больше, чем с низкой, а разные начальные состояния в процессе

развития приходят к разным конечным состояниям, поэтому большую часть

времени (с действительно подавляющей вероятностью) можно ожидать, что

энтропия будет увеличиваться. Однако Больцман был истинным ученым, и ему

недостаточно было лишь этого. Он хотел доказать, что второе начало термо-

динамики следует из его определения.

Довольно непросто вообразить себя на месте ученого, занимающегося

исследованием термодинамики в конце XIX века. Эти ребята чувствовали,

что неспособность энтропии уменьшаться в замкнутой системе не просто

отличная идея, а закон. Мысль о том, что энтропия, вероятно, будет увеличи-

ваться, казалась им не более правдоподобной, чем, например, предположение

о том, что энергия, вероятно, будет сохраняться. И правда, числа настолько

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

ошеломляюще велики, что вероятностные выводы статистической механики

можно было бы использовать как абсолютно верные для всех практических

задач. Тем не менее Больцман стремился продемонстрировать нечто более

определенное.

В 1872 году Больцман (в то время ему было двадцать восемь лет) опубли-

ковал статью, в которой предлагал использовать для доказательства того, что

энтропия всегда будет либо увеличиваться, либо оставаться постоянной, кине-

тическую теорию. Этот результат называется H-теоремой, которая с того само-

го времени остается источником множества споров в научной среде. Даже

сегодня одни люди уверены, что H-теорема объясняет незыблемость второго

начала термодинамики в реальном мире, тогда как другие полагают ее всего

лишь забавным пережитком истории интеллектуальной мысли. Правда в том,

что это действительно чрезвычайно интересный результат для статистической

механики, но «доказать» второе начало он все же не в силах.

Больцман размышлял следующим образом. В макроскопическом объекте,

таком как наполненная газом комната или чашка кофе с молоком, присутству-

ет невероятное количество молекул — более 1024. Он рассматривал такой

случай, когда газ относительно разрежен; в этой ситуации столкнуться могут

две любые частицы, но редкие события, когда одновременно друг в друга вре-

заются три или более частиц, можно игнорировать (это на самом деле не вы-

зывающее претензий предположение). Нам необходимо найти способ, как

охарактеризовать макросостояние всех этих частиц. Итак, вместо того чтобы

отслеживать положения и импульсы всех молекул (что дало бы нам полное

описание микросостояния), давайте следить за средним числом частиц, обла-

дающих данным положением и импульсом. Например, в контейнере с газом,

находящемся в равновесии при определенной температуре, среднее число

частиц в каждой точке равно, а также существует некоторое распределение

импульсов, такое, что средняя энергия частиц дает нам нужную температуру.

Имея на руках лишь эту информацию, можно вычислить энтропию газа. А затем

(если вы Больцман) доказать, что энтропия газа, пребывающего не в равно-

весном состоянии, будет со временем возрастать, пока не достигнет максималь-

ного значения, после чего останется на этом уровне. Очевидно, что мы вывели

второе начало термодинамики.19

Очевидно, однако, что здесь что-то не чисто. Мы начали с микроскопических

законов физики, совершенно инвариантных относительно направления вре-

мени, — они работают одинаково хорошо как вперед во времени, так и назад.

А Больцман утверждал, что получил на основе этих законов результат, абсо-

 

Глава 8. Энтропия и беспорядок

 

 

лютно точно не обладающий свойством инвариантности и приводящий к оче-

видной стреле времени, что подтверждается словами об увеличении энтропии

по направлению к будущему. Как же можно получить необратимые результаты

исходя из обратимых предположений?

Данное возражение было громко и ясно высказано Йозефом Лошмидтом

в 1876 году, после того как схожие сомнения появились у Уильяма Томсона

(лорда Кельвина) и Джеймса Клерка Максвелла. Лошмидт был близким другом

Больцмана, взявшим молодого физика под свою опеку в Вене в 1860-е годы.

И он не проявлял никакого скептицизма по отношению к атомной теории;

в действительности Лошмидт первым сумел точно оценить физические раз-

меры молекул. Однако ему было невдомек, как Больцман сделал вывод об

асимметрии времени, не прибегая к помощи его предположений.

Доводы, стоящие за тем, что нам сегодня известно под названием «воз-

ражения Лошмидта об обратимости», просты. Рассмотрим какое-то конкрет-

ное микросостояние, соответствующее макросостоянию с низкой энтропией.

Оно с огромной вероятностью будет развиваться в сторону высокоэнтро-

пийных состояний. Но инвариантность относительно отражения времени

гарантирует, что для каждого такого пути развития существует другой до-

пустимый путь — зеркальное отражение оригинала, — начинающийся

в высокоэнтропийном состоянии и эволюционирующий навстречу низкой

энтропии. В пространстве всех процессов, которые могут происходить

с течением времени, можно найти ровно столько же систем, начинающих

существование в условиях высокой энтропии и приходящих в состояние

с низкой энтропией, как и систем, переходящих из низкоэнтропийного со-

стояния к высокоэнтропийному. На рис. 8.5, где показано пространство со-

стояний, разделенное на макросостояния, мы нарисовали траекторию, беру-

щую начало в макросостоянии с очень низкой энтропией. Однако траектория

не появляется из ниоткуда; она должна была существовать и до того, и в ее

истории должно было быть состояние с высокой энтропией, — явный пример

пути, вдоль которого энтропия уменьшилась. Очевидно, что если вы верите

в динамику, инвариантную относительно отражения времени (как все эти

ученые), то совершенно невозможно доказать, что энтропия всегда только

увеличивается.20

Однако Больцман что-то доказал, и, насколько можно было судить, в его

рассуждениях не было математических или логических ошибок. Скорее всего,

в его доводы каким-то образом проникло предположение об асимметричности

времени, даже если эта идея не была высказана явно.

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

Действительно, так и случилось. Одним из важнейших шагов в аргументах

Больцмана было предположение о молекулярном хаосе — Stosszahlansatz по-

немецки, что можно буквально перевести как «гипотеза о числе столкновений».

Суть его в том, что мы считаем движение молекул произвольным, то есть они

не строят коварных заговоров с целью подчинить свое движение определенной

схеме. Но для того, чтобы энтропия уменьшалась, именно это и требуется —

коварный заговор! Таким образом, Больцман, в сущности, доказал, что энтро-

пия может увеличиваться только в том случае, если с самого начала отмести

любые альтернативные варианты. В частности, он предполагал, что импульсы

любой пары частиц до того, как они столкнутся, независимы или не скоррели-

рованы между собой. Однако это «до» как раз и иллюстрирует то самое пред-

положение об асимметричности времени; если частицы никак не скоррелиро-

ваны до столкновения, то после между ними установится взаимосвязь или

корреляция. Вот так предположение о необратимости прокралось в доказа-

тельство.

Если взять систему в состоянии с низкой энтропией и позволить ей раз-

виваться по направлению к увеличению энтропии (например, подождать, пока

растает кубик льда), то после того, как все закончится, между молекулами

можно будет найти огромное количество корреляций. В частности, среди них

будут корреляции, гарантирующие, что если мы инвертируем все импульсы, то

система вернется в низкоэнтропийное начальное состояние. В рассуждениях

Больцмана такая возможность учтена не была. Он доказал, что энтропия ни-

когда не будет уменьшаться, если отбросить обстоятельства, при которых эн-

тропия могла бы уменьшиться.