Задачи целочисленного программирования. Метод Гомори. 6 страница

Логика исследовательского поиска вывела В.В. Леонтьева на мировой уровень экономики. Применив новую методику, В. В. Леонтьев доказал, что если принять во внимание весь комплекс прямых и косвенных затрат, то экспорт из США оказывается более трудоемким и менее капиталоемким, чем импорт, хотя в США квота инвестиций достаточно высока, а уровень зарплаты достаточно высок. Получается, что для США выгоднее экспортировать труд и импортировать капитал, что мы и наблюдаем. Внешнеторговые преимущества, известные еще со времен Рикардо, обнаруживают свой условный, относительный характер. «Парадокс Леонтьева» стал источником новых размышлений и более глубокого анализа мировой торговли. В. В. Леонтьев возглавил группу экспертов, подготовивших по заказу ООН доклад - прогноз «Будущее мировой экономики».

Он был переведен на русский язык и опубликован у нас еще в 1979 г. Исходными для анализа явились данные за 1970 г., а в прогнозе давались оценки на 1980, 1990 и 2000 гг. Доклад должен был стать основой «стратегии развития» и создания нового экономического порядка, разрабатывавшихся под эгидой ООН.

Итак, В. В. Леонтьев непрерывно работал над расширением сферы применения методологии межотраслевого анализа: экономическая динамика и инвестиционные процессы, взаимодействие экономики и окружающей среды, межрегиональные и внешнеэкономические связи, экономика вооружений и конверсии, воздействие автоматизации на занятость и структуру экономики. Рассмотрим некоторые вопросы более подробно:

Действительно, профессор В. В. Леонтьев принадлежит к первому ряду ученых-экономистов, выразивших озабоченность состоянием окружающей среды, когда про «зеленых» еще и не слышали.

Здесь его отличает остроумие в распространении метода «затраты - выпуск» на новые, качественно разнообразные, неосвоенные области исследования. Так им была создана модель взаимодействия экономики и окружающей среды (введение в матрицу межотраслевых связей коэффициентов выпуска и уничтожения загрязнителей) и глобальная межотраслевая модель (соединение матриц регионов мира с коэффициентами структуры мировой торговли).

Многие экономисты впоследствии часто отмечали простоту, и очевидность найденных модельных конструкций, но почему-то такие решения раньше никому не приходили в голову. Используя опыт моделирования, Леонтьев первый показывал взаимосвязь, существующую между хозяйственной активностью и состоянием среды обитания.

Еще в своей Нобелевской лекции, посвященной проблемам мировой экономики в свете шахматных балансов, он выделил загрязнение окружающей среды в самостоятельный сектор шахматного баланса. Он поставил задачу о необходимости введения строгих мировых стандартов и, что это необходимо и неизбежно, а с точки зрения экономической эффективности даст возможность развивающимся странам заметно повысить занятость, хотя и потребует некоторых жертв со стороны потребления. Особым вниманием к экологическому фактору проникнута и знаменитая книга «Будущее мировой экономики».

В книге содержится группировка стран и регионов, находящихся, судя по основным экономическим показателям, на разных ступенях развития, и предлагаются два альтернативных сценария их развития до 2000 г. Им предполагалось, что разрыв между индустриально развитыми и слаборазвитыми странами в доходе на душу населения сократится с 12: 1 до 7: 1.

Экспертные оценки четко показали, что расходы на борьбу с загрязнением окружающей среды напрямую зависят от размера душевого дохода. В странах Африки, постоянно страдающих от засухи и эрозии почвы, доход на душу населения не превышал в 1970 г. 167 долл. в год против 2000—4000 долл. В остальном мире индустриально развитых государств. Согласно прогнозу, группы В. В. Леонтьева душевой доход в странах засушливой Африки должен повыситься к 2000 году до 436 долл.

Но темпы выброса твердых отходов будут в странах с низким доходом возрастать на 6% в год, содержание вредных примесей в воде — на 7% в год, в то же время темпы загрязнения воздуха и воды в Северной Америке и Европе останутся до конца века примерно на том, же уровне (2—3%), со слегка понижательной тенденцией. Что касается капитальных затрат в очистном секторе, то их доля по отношению к совокупному капиталу должна повысится в Западной Европе до 3,9%, почти до 4% — в Японии, до 2,6% — в Советском Союзе (в 1970 г. последний показатель, поданный ООН, составлял 1,3%).

Конечно, прогнозы содержали приблизительные оценки и основывались на том видении мира, которое господствовало среди ученых и политиков в середине 70-х гг. Прогнозировать глобальные социально-политические сдвиги, которыми характеризовалось последние десятилетие, 20 – ого и начала 21 – ого века было весьма затруднительно.

В целом прогноз относительно более быстрого экономического роста развивающихся стран оправдался, хотя в этом регионе произошла значительная дифференциация, выделилась группа государств, которые называли «новыми индустриальными». Это — Юго-Восточная Азия, Аргентина, Бразилия, ряд стран Ближнего Востока. По душевому продукту они соперничали со странами Европы и Северной Америки. Дифференциация привела также к тому, что терминология 70-х гг. — «третий мир», «развивающийся мир» — никак не подходила к структуре мира. За что они и посьрадали в 21 – ом веке.

Не оправдался (или не дали оправдаться) прогноз развития стран «централизованно планируемой экономики». Составлявшая в 1970 г. их доля в мировом материальном производстве — 21% — должна была увеличиться до 27% к 1990 г. и до 29% к 2000 г.

Василий Васильевич Леонтьев часто бывал на международных конференциях, посвященных экономике разоружения и проблемам конверсии военного производства. Он ставил задачу о том, чтобы, используя шахматные балансы, методику «затраты - выпуск», рассчитать издержки производства оружия, его воздействие на смежные отрасли, а также определить наиболее рациональный подход к конверсии, удешевить ее и сберечь рабочие места, что очень важно. Так, еще в 1941—1942 гг. В. Леонтьев опроверг предсказания, что послевоенная конверсия промышленности неизбежно обязательно приведет к массовой безработице.

Вопреки убеждениям о падении спроса на продукцию сталелитейной промышленности США он доказывал (и это предположение подтвердилось), что спрос на сталь возрастет благодаря расширению строительства и массовой реконструкции предприятий.

Значительно позже, анализируя влияние автоматизации на экономическую систему, он показал, что совсем не абсолютное сокращение занятости является ее главным социальным последствием, а глубокие структурные изменения, в том числе в структуре занятости. Общей чертой приводимых примеров является учет эффекта косвенных межотраслевых взаимодействий, не улавливаемых, как правило, сторонниками правдоподобных, но упрощенных объяснений процессов, происходящих в экономике.

В соавторстве с Дахиным В. В. Леонтьевым были опубликованы работы: «Военные расходы» (1983) и «Перспективы автоматизации труда» (1986). В конце 80-х гг. В. В. Леонтьев участвовал в первых проектах широкомасштабной конверсии военного производства и экономических преобразований России.

Метод межотраслевого анализа В. В. Леонтьева открыл широкую дорогу для количественных исследований структурных и динамических закономерностей и капиталистической, и социалистической, и смешанной экономики. Благодаря этому окончательно прояснились многие почти «вечные» проблемы экономической теории: природа и измерение «повторного счета» стоимости в кругообороте общественного производства, взаимосвязи между материальными и стоимостными пропорциями, различия между концепциями ценообразования и так далее.

Кроме того, столь же удивительна смелость ученого в первых попытках применения метода межотраслевого анализа в исследовании экономических последствий автоматизации производства, развития транспорта и тому подобное.

Некоторые научные коллективы, перед которыми ставились эти проблемы, пытались использовать более сложные и утонченные методологические подходы, но пожалуй, редко кому удавалось выдержать конкуренцию «команды» В. В. Леонтьева. Научное кредо В. В. Леонтьева — обязательное сочетание математического моделирования с реальной информацией, использование моделей для ответа на актуальные вопросы экономической жизни и политики в практическом плане.

Накануне своего, подумать только, девяностолетия В. В. Леонтьев открыл новую страницу в межотраслевом анализе, опубликовав статью «Предложение об использовании метода «затраты - выпуск» в анализе структуры междисциплинарных связей».

Выявив близкое подобие между структурой «затраты - выпуск» в экономике и философской структурой системы научных знаний, он предлагал строить шахматную таблицу потоков научных знаний, используя индексы цитирования научных трудов (распространенный на Западе способ оценки значимости и распространенности научных открытий, который внедряется и ы России).

В подлежащем и сказуемом такой таблицы перечисляются отрасли знаний, а в каждой клетке — индексы цитирования знания, созданного в одной отрасли и используемого в другой. В который уже раз В. В. Леонтьев демонстрировал свой исключительный научный кругозор и неиссякаемые возможности своей методологии. Очевидно, что кончина В. В. Леонтьева 5 февраля 1999 г. оборвала его движение к новым творческим достижениям.

Но его главное детище метод «затраты - выпуск» продолжает развиваться, отвечая на вызовы экономики.

В конце 40-х - начале 50-х гг. все больше стран начинают разрабатывать балансы «затраты - выпуск», использовать их в прогнозировании, государственных программах социально-экономического развития.

Особую целенаправленность эта деятельность приобретает во Франции, Нидерландах, Норвегии, Италии, Японии и других странах с развитой системой государственного регулирования и программирования. С конца 50-х гг. исследования на основе межотраслевых связей стали быстро развиваться и в социалистических странах. Общее же число стран, в которых были построены балансы «затраты - выпуск», – около 100.

Однако не все экономисты склонны были признать метод затраты - выпуск как эффективный путь изучения экономических проблем. Находясь под влиянием традиционного образа мыслей, критики В. В. Леонтьева оказывали заметное сопротивление его попыткам революционизировать науку. Особенно не нравилась всем идея о фиксированных коэффициентах. Однако если этот метод В. В. Леонтьева модифицировать с учетом более поздних открытий в области линейного программирования, он в состоянии обеспечить и анализ, и поиск решения меняющихся производственных функций. В этом случае уровень использования производственных затрат становится переменной величиной и возникает возможность установить критерии для оценки метода производства, основанные либо на минимальных издержках производства (целевая функция), либо на максимальном "благосостоянии". И с этой точки зрения модели и система В. В. Леонтьева вполне может рассматриваться как особый случай общей теории линейного программирования.

Аналитический метод Леонтьева предполагает, что при больших размерах затрат на единицу выпуска уровень последнего может и не быть величиной положительной. Если рассуждать последовательно, при нулевом конечном спросе на продукцию занятость и объем производства должны быть равны нулю.

Но если в качестве "товарного остатка" или конечного спроса были взяты заграничные инвестиции, равные нулю, было бы ошибочно думать, что производство также будет равно нулю. Таким образом, становится очевидной необходимость получения дополнительной информации в отношении конечного спроса. Критики метода утверждали также, что схема «затраты – выпуск» не раскрывает влияния инвестиций в одной отрасли экономики на другие, поскольку здесь исключаются "обратные связи" и явления многостороннего порядка. Соответствующую корректировку расчетов необходимо осуществлять с помощью мультипликатора.

Критики В. В. Леонтьева настаивали на том, что выбор технологии производства, взаимозаменяемость элементов затрат и производство сопряженных продуктов возможны лишь при менее «жестких» допущениях. Но это означало возврат к нелинейным методам экономического анализа, от которых теоретики метода затраты - выпуск отказались. Чтобы объяснить значительные разрывы, приходилось снова исходить из изменчивости колебаний, которые были охарактеризованны Хиксом и Харродом.

Однако возможности практического применения метода В. В. Леонтьева таковы, что они оправдывали такую модификацию, ибо он оставался и остается одним из немногих инструментов экономического анализа, поддающихся численному решению. Этой схеме обычно может быть предъявлено обвинение в том, что она не содержит уравнений, выражающих действия покупателя на рынке, полностью игнорирует экономическую психологию и статистическими выводами подменяет анализ реакций потребителя.

Наиболее резкое критическое замечание о системе В. В. Леонтьева сводилось к тому, что его таблицы затраты - выпуск - это лишь немногим большее, чем удобная классификация данных, относящихся к прошлому. Но, как отметил Р. Голдсмит, Леонтьевские таблицы представляются разумной аппроксимацией к вальрасовским уравнениям, если сообщить последним динамический характер. Главная трудность их практического применения заключается в невозможности своевременного получения данных, ибо если таблицы затраты - выпуск не изменяются достаточно часто, то они превращаются в своего рода историческую статистику.

Возражение же о том, что нельзя определить понятие отрасли или сектора, совершенно необоснованно и относится скорее к юриспруденции, чем к экономике. Более серьезными кажутся недостатки, вытекающие из понятия о фиксированных коэффициентах, предполагающих постоянную доходность, и отсутствие возможности избрать технологический вариант производства.

Но с чисто теоретической и особенно практической точки зрения в этих недостатках не было ничего катастрофического.

Еще Самуэльсон показал, что, если исходить из допущения эффективности производства, характеризующейся наилучшим значением коэффициентов затрат, то говорить о взаимозаменяемости затрат или выборе варианта бессмысленно, ибо производство фактически в этом случае уже достигло оптимального состояния. Несмотря на такую изобретательную защиту метода В. В. Леонтьева и заложенных в нем возможностей, экономисты и прикладные математики все больше прибегают ныне к методу линейного программирования, который кажется им более гибким.

Тот факт, что он, по-видимому, узко практичен и более приспособлен к решению проблем экономики предприятий, чем метод затраты - выпуск с его макроэкономическим, глобальным подходом, делает его более привлекательным. Экономистов подкупает и то, что в линейном программировании они не сталкиваются с теоретическими тонкостями, там все просто. Они получили в руки общепринятую теорию и мощную математическую технику.

Можно следующим образом вывести достоинства и недостатки метода «затраты - выпуск»:

Достоинства метода:

- Позволяет планировать отрасли и производства системно с учетом их места и веса.

- Дает возможность планирования в динамике, на ряд лет, позволяя найти пути подъема, как всей экономики страны, так и отдельных отраслей. (Это успехи В. В. Леонтьева в Германии и Японии после войны.)

Практическое применение метода затраты - выпуск достаточно широко. В США после второй мировой войны по руководством В. В. Леонтьева составлена матричная таблица, включающая 400 отраслей экономики США. Результаты экономического анализа были использованы для прогнозирования занятости населения в послевоенный период. Модели В. В. Леонтьева позволили смягчить топливный кризис 1970 года, продовольственный 1972-74 годов, экологический конца 70-х начала 80-х годов.

Основные недостатки:

- Опора на матрицу коэффициентов полных затрат приводит к трудоемкому процессу сбора и обработки большого объема статистической информации. Процесс производится с периодичностью в течении ряда лет, что не дает полной картины динамики отрасли.

- Нет учета технологических изменений в отраслях за период между сбором информации о матрице затрат.

В нашей же стране всплеск интереса к работам В. В. Леонтьева произошел во второй половине 50-х гг. Наибольшее впечатление на экономистов произвела открывающаяся возможность применения математики и электронных вычислительных машин и применимость к плановой экономике. Политическая «оттепель» способствовала преодолению замкнутости отечественной экономической науки, поиску новых путей ее развития.

Не зря исследования по межотраслевому балансу (так стали называть таблицы «затраты - выпуск») были проведены вначале в Институте электронных управляющих машин, Научно-исследовательском экономическом институте при Госплане СССР, Лаборатории по применению математических и статистических методов АН СССР. Образовалась работоспособная группа межотраслевого баланса (МОБ).

Значительным событием в научной жизни стала публикация перевода книги «Исследования структуры американской экономики». С брльшим интересом ее читали и ученые, и практики. Подробные рецензии почти одновременно были опубликованы в журналах «Вопросы экономики», «Плановое хозяйство», «Вестник статистики». Рецензии способствовали популяризации книги, но конечно, в форме, характерной для эпохи идеологического противостояния. С одной стороны, авторы рецензий — весьма компетентные ученые — раскрывали глубокое содержание книги, с другой — усердно предостерегали от переоценок ее достоинств и личного вклада В. В. Леонтьева. В рецензиях встречались выражения: «буржуазная ограниченность», «апологетическая сущность», «идейное банкротство» и тому подобное.

В своей известной статье «Упадок и подъем советской экономической науки» В. В. Леонтьев позитивно оценивал сдвиги, происходившие в СССР, в том числе изменившееся отношение к методу межотраслевого баланса. Сначала, пишет он, «это были типичные полемические выпады против «буржуазной экономической науки», публикуемые время от времени в «Вопросах экономики» и подобных советских журналах.

Характеризуя большой интерес советских экономистов к методу «затраты - выпуск» и отдавая должное направлению исследований, В. В. Леонтьев делал оптимистический вывод: «По всей вероятности, введение в последующие годы методов научного планирования увеличит продуктивность советской экономики в целом, точно так же, как новые методы научной организации управления в наших больших корпорациях подняли эффективность их внутренней деятельности. Функционирование экономики с центральным планированием зависит от эффективности — или неэффективности – управленческих решений в большей степени, чем функционирование рыночной экономики, так как последняя извлекает пользу из экономизирующей функции конкурентного ценообразования. Так что преимущества, которые русские получат от улучшений в таких процедурах принятия решений, обязаны быть особенно значительны. Будет ли использован рост продуктивности для ускорения их экономического роста, военных приготовлений или, как надеется свободный мир, подъема жизненного уровня народа, сказать трудно». Ученый исходил из того, что советская экономика в начале 1960-х годов обладала значительным потенциалом реформирования и не ставил задач ее революционной трансформации. И видимо не зря после распада СССР первое, что постарались уничтожить это Госплан, планирование вообще и закрыть работу над МОБ.

Оптимистический прогноз В. В. Леонтьева относительно усиления научной базы советского планирования вполне оправдывался. ЦСУ СССР разработало за 1959 г. отчетный межотраслевой баланс в стоимостном выражении (по 83 отраслям) и первый в мире межотраслевой баланс в натуральном выражении (по 257 позициям).

Одновременно развернулись прикладные работы в центральных плановых органах (Госплане и Госэкономсовете) и их научных организациях. Первые плановые межотраслевые балансы в стоимостном и натуральном выражении были построены в 1962 г. Далее работы были распространены на республики и регионы. Межотраслевые балансы были построены по всем союзным республикам и экономическим районам РСФСР. Выходили оригинальные монографии известных советских авторов по разнообразным проблемам межотраслевого баланса. Были созданы научные заделы для более широкого применения межотраслевых моделей (в том числе динамических, оптимизационных, натурально-стоимостных, межрегиональных и др.) в практике планирования народного хозяйства СССР и союзных республик. В 1967 г. группе ученых за исследования в этой области была присуждена Государственная премия СССР. С полным основанием можно было говорить о создании советской школы межотраслевых исследований ведущей в мире.

Методы межотраслевого баланса в сочетании с применением электронно-вычислительной техники открыли принципиально новые возможности перед народнохозяйственным планированием, что и предвидел В. В. Леонтьев. Стала вполне реальной разработка плана, начиная с конкретных формулировок конечной цели производства — неуклонное увеличение народного благосостояния – с последующим проведением по межотраслевой модели многовариантных расчетов, с учетом ограничений на ресурсы, с выбором вариантов, наилучшим образом отвечающих поставленным социальным целям и планам. Интересно, что такая методология, и средства ее реализации были освоены еще в начала 1960-х гг.! Кроме того, стало возможным быстро рассчитывать и корректировать систему сбалансированных цен, взаимоувязывать материально-вещественные и финансовые пропорции и так далее.

В 1970-х и 1980-х годах на основе информации межотраслевых балансов (матриц «затраты - выпуск») стали разрабатываться более сложные межотраслевые модели и целые модельные комплексы, которые использовались в прогнозных расчетах и частично входили в технологию народнохозяйственного планирования. По целому ряду направлений советские межотраслевые исследования занимали достойное место в мировой науке.

Дальнейшие идеи реформирования экономики, политики, общественной жизни в нашей стране нашли у В. В. Леонтьева энергичную поддержку.

Вместе со своими коллегами по Институту экономического анализа В. В. Леонтьев пишет большую статью «Перспективы развития советской экономики на период до 2000 года», подводящую итоги проекта по заказу Национального Совета США и включающую дополнения к предыдущим сценарным расчетам по глобальной модели «затраты - выпуск». Для экономики СССР вырисовывается оптимистический прогноз: устойчивое развитие до 2000 г. с ежегодным темпом прироста ВВП до 4% (и эта перспектива США, как мы видим, не устраивала). В Санкт-Петербурге публикуется его сборник «Избранные статьи» (1994 г.), в издательстве «Экономика» после восьмилетней пролежки, вызванной финансовыми затруднениями, выходит книга «Межотраслевая экономика» (1997 г.), объединяющая основное содержание трех монографий В. Леонтьева: «Экономика «затраты - выпуск» (2-е издание). «Военные расходы» и «Будущее влияние автоматизации на работников».

Говоря о 90-х годах, нужно отметить, что потребности в применении метода «затраты - выпуск» были особенно важны; более того, в национальной экономике возникли новые сложные проблемы, требующие межотраслевых обоснований, надежных количественных оценок последствий новых явлений и принимаемых политических решений.

Вот несколько известных фактов из пережитого без Госплана и МОБ.

1. В конце 1991 г., когда было принято решение о разовой либерализации цен, при этом допускалось, что до достижения равновесия на товарном рынке цены могут вырасти в 3 – 4 раза. Фактически же потребительские цены за 1992 г. выросли в 26 раз, а цены производителей промышленной продукции – в 34 раза. Оценить распространение инфляции спроса и инфляции издержек можно было только посредством моделирования межотраслевых зависимостей цен. Этого не было сделано да и не кому было делать; соответственно не могли быть приняты адекватные меры по сдерживанию темпов роста галопирующей инфляции.

2. Второй пример – прогноз последствий сокращения оборонного заказа не только для оборонных предприятий, но и для всех отраслей экономики, а также занятости, доходов населения, бюджетов и т.д. Это типичная, классическая задача применения метода «затраты - выпуск» (ей посвящена книга В. Леонтьева «Военные расходы»). Однако в России оешили обойтись и без этого. Результаты известны: конверсия не пошла; остановка предприятий военной промышленности привел к социально-экономическому кризису многих городов и целых регионов; спад производства распространился на все отрасли, кроме экспортно-сырьевых.

3. Третий пример – учет воздействия валютного курса на национальную экономику. Эта задача также решается с помощью модели «затраты - выпуск» с открытыми внешними связями. Однако не обнаружено каких-либо признаков, что такие модели использовались при подготовке государственных решений как до финансового кризиса 1998 г., так и после него, когда резко изменялись соотношения эффективности экспорта и импорта по различным товарным группам, отечественного производства и внутреннего потребления товаров. Перечень упущенных возможностей для реализации метода «затраты - выпуск» на первых этапах экономических реформ можно было бы продолжить. Новый шанс – это поставленные Президентом России В. В. Путиным задачи удвоения ВВП и диверсификация национальной экономики.

Основания для оптимизма дает Росстат Р.Ф., с самого начала 1990-х годов развернувший работы по переходу с прежней методологии баланса народного хозяйства на методологию системы национальных счетов (СНС). Были построены сопоставимые укрупненные таблицы «затраты - выпуск», а затем был разработан детальный баланс «затраты - выпуск» за 1995 г. Исходный его вариант включает 227 групп товаров и услуг, а окончательный вариант (только для пользователей) – 110 групп. И этот баланс стал первым в мире, построенном в соответствии со стандартами последней версии СНС. В последние годы Росстат Р. Ф. ежегодно разрабатывает и публикует таблицы «затраты - выпуск» по 22 группам товаров и услуг, которые строятся на основе детальных таблиц за 1995 г. и данных базовой статистики.

Наряду со статистическими разработками восстанавливаются и постепенно расширяются прогностические исследования на основе дальнейших модификаций и обобщений модели «затраты - выпуск». Можно отметить функционирующую модель RIM (российская межотраслевая модель) в Институте народнохозяйственного прогнозирования РАН, комплекс моделей СИРЕНА -2 (СИнтез РЕгиональных и НАроднохозяйственных решений) в Институте экономики и организации промышленного производства СО РАН, межотраслевые модели для краткосрочного и среднесрочного прогнозирования в Институте макроэкономических исследований Минэкономразвития России.

Таким образом, из логики В. Леонтьева следует, что в любой, и в плановой, и в переходной экономике, и в развитой экономике рыночного типа есть широкое поле для применения методологии «затраты-выпуск», что подтверждается опытом множества стран. Ограничение области детального директивного планирования в современной России по сравнению с СССР не отменяет необходимости государственного регулирования основных межотраслевых пропорций, нужна балансировкп структурной, инвестиционной, социальной политики. И в это же время возрастает значение балансовой увязки материально-вещественных и трудовых пропорций с финансовыми условиями, доходами, денежным обращением, валютной политикой.

Пример расчета межотраслевого баланса

Построение межотраслевого баланса производства и распределения продукции

Для трёхотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

|| 0.3. 0.1 0.4|| ||2 0 0||

А= ||0.2 0.5 0.0|| Y= ||1 0 0||

||0.3 0.1 0.2|| ||3 0 0||

Рисунок 67.

1. определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц

- находим матрицу (E-A):

||1 0 0|| || 0.3 0.1 0.4|| ||0.7 -0.1 -.0.4||

(E-A)= || 0 1 0|| - || 0.2 0.5 0.0|| = ||-0.2 0.5 0.0||

|| 0 0 1|| || 0.3 0.1 0.2|| ||-0.3- 0.1 0.8||

Рисунок 68.

-вычисляем определитель этой матрицы:

|| 0.7 -0.1 -0.4||

|E-A|= ||-0.2 0.5 0.0|| = 0.196

||-0.3 -0.1 0.8||

Рисунок 69.

- транспонируем матрицу (E-A):

||0.7 -0.1 -0.4||

|E-A|= ||-0.2 0.5 0.0||

||-0.3 -0.1 0.8||

Рисунок 70

находим алгебраическое дополнение для элементов матрицы (E-A)`:

A11= (-1) | 0.5 -0.1 | = 0.40

| 0.0 0.8 |

A13= (-1) |-0.1 0.5 | = 0.20

|-0.4 0.0 |

A22= (-1) | 0.7 -0.3 | = 0.44

| -0.4 0.8|

A31= (-1) |-0.2 -0.3 | = 0.17

| 0.5 -0.1 |

A11= (-1) | 0.7 -0.2 | = 0.33

|- 0.1 0.5|

| -0.1 -0.1|

A12= (-1) | -0.4 0.8 |=0.12

| -0.2 -0.3 |

A21= (-1) | 0.0 0.8 | = 0.16

| 0.7 -0.2 |

A23= (-1) |- 0.4 0.0 | = 0.08

| 0.7 -0.3|

A32= (-1) |-0.1 -0.1 |=0.10

Рисунок 71

Таким образом, присоединённая к матрице (E-A) матрица имеет вид:

||0.40 0.12 0.20||

(E-A) = ||0.16 0.44 0.08||

||0.17 0.10 0.33||

Рисунок 72

Чтобы найти матрицу коэффициентов полных материальных затрат, воспользуемся формулой матричной алгебры:

B= (E-A) = (E-A)\ |E-A| (38)

Получим:

||2.041 0.612 1.020||

B=(E-A) = || 0.816 2.245 0.408||

|| 0.867 0.510 1.684||

Рисунок 73.

2. найдём величины валовой продукции трёх отраслей (вектор Х), используя формулу 2.6 (рассмотренную во второй главе):

||2.041 0.612 1.020|| ||200|| ||775.3||

X= BY = ||0.816 2.245 0.408|| * ||100|| =||510.1||

||0.867 0.510 1.684|| ||300|| ||739.6||

Рисунок 74.

Итак, теперь определим квадранты материального межотраслевого баланса.