Умови рівноваги системи збіжних сил

Вступ

Предмет механіки – вивчення механічного руху та механічної взаємодії тіл.

Зміст розділів механіки

Теоретична механіка та її місце серед природних і технічних наук. Механіка як теоретична база ряду областей сучасної техніки. Об’єктивний характер законів механіки. Роль і значення аксіом і абстракцій в механіці. Основні історичні етапи розвитку механіки.

Розділ І. Статика твердого тіла

Основні поняття і аксіоми статики.

1.1 Вступ до статики. Предмет статики. Основні поняття статики: абсолютно тверде тіло, матеріальна точка, сила, еквівалентні та зрівноважені системи сил, рівнодіюча, сили зовнішні та внутрішні. Аксіоми статики. В’язі та реакції в’язів.

Система збіжних сил

1.2 Геометричний та аналітичний способи додавання сил. Рівнодіюча збіжних сил. Геометричні і аналітичні умови рівноваги збіжних сил. Рівновага трьох непаралельних сил.

Момент сили відносно центра

Пара сил

1.3 Момент сили відносно центра як вектор. Пара сил. Момент пари як вектор. Еквівалентність пар. Додавання пар сил. Умови рівноваги системи пар.

Зведення системи сил до заданого центру
Умови рівноваги системи сил

1.4 Теорема про зведення довільної системи сил до заданого центру (основна теорема статики).

Головний вектор та головний момент системи сил. Теорема Варіньона про момент рівнодіючої.

Системи сил, довільно розташованих на площині

1.5 Алгебраїчна величина моменту сили. Обчислення головного вектора та головного моменту плоскої системи сил. Аналітичні умови рівноваги довільної плоскої системи сил. Різні види системи умов рівноваги. Рівновага системи тіл. Статично визначені та статично невизначені системи.

Довільна система сил.

1.6 Момент сили відносно осі; залежність поміж моментами сили відносно осі та відносно центру, котрий лежить на цій осі. Обчислення головного вектора і головного моменту довільної системи сил. Аналітичні умови рівноваги довільної просторової системи сил; випадок паралельних сил.

Центр паралельних сил і центр ваги (тяжіння)

1.7 зведення системи паралельних сил, його радіус-вектор і координати. Центр ваги твердого тіла: центр ваги об’єму, площі та лінії. Способи визначення положень центрів ваги тіл.

ВСТУП

Основні поняття

Теоретична механіка – наука, в котрій вивчаються загальні закони механічного руху та механічної взаємодії матеріальних тіл.

Механічним рухом називається переміщення тіла по відношенню до другого тіла
в просторі і в часі.

Курс теоретичної механіки ділиться на три розділи: статику, кінематику та динаміку.

Статика – розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються методи перетворення системи сил в еквівалентні системи та умови рівноваги сил, діючих на тверде тіло.

Кінематика – розділ теоретичної механіки, в якому вивчається рух матеріальних тіл
в просторі з геометричної точки зору, без врахування сил, котрі викликають цей рух.

Динаміка – розділ теоретичної механіки, в якому вивчається рух матеріальних тіл
в просторі в залежності від діючих на них сил.

Теоретична механіка є базовою наукою для вивчення таких дисциплін як опір матеріалів, теорія механізмів та машин, гідродинаміки та багатьох інших дисциплін.

СТАТИКА

Вступ до статики

В основі теоретичної механіки, як і всякої науки, лежать уявлення і абстракції, відображаючі головні риси вивчаємих явищ.

Розглянемо основні поняття на яких базується розділ статики.

Під абсолютно твердим тілом, розуміємо тіло, в якому відстань поміж двома любими точками залишається незмінною.(В умовах задачі можна знехтувати деформацією тіла).

Матеріальною точкою називається тіло, розмірами котрого в умовах задачі можна не враховувати. Матеріальна точка має масу і може взаємодіяти з другими тілами.

Сила – векторна міра механічної взаємодії тіл, котра визначає інтенсивність і напрям цієї взаємодії.

Сила визначається трьома елементами: чисельним значенням (модулем), напрямом та точкою прикладення.

Пряма по якій направлена сила, називається лінією дії сили.

 

Лінія дії сили

 

_

А Р

 

 

Якщо одну систему сил (Р₁,Р₂,...,Р_n) можна замінити другою системою , і навпаки не змінюючи при цьому стану тіла, то такі системи називаються еквівалентними ~ .

Сила еквівалентна деякій системі сил називається рівнодіючою ~ .

Система, сил котра будучи прикладеною до твердого тіла не змінить його кінематичного стану, називається зрівноваженою (система сил еквівалентна нулю) ~0.

Системою матеріальних точок, або механічною системою, називаються така сукупність матеріальних точок, в якій положення і рух кожної точки залежить від положення та руху інших точок системи.

Сили, діючі на механічну систему, діляться на дві групи: зовнішні та внутрішні сили.

Зовнішніми називаються сили, діючі на матеріальні точки (тіла) системи з боку матеріальних точок (тіл), котрі не належать цій системі. Внутрішніми називаються сили взаємодії поміж матеріальними точками (тілами) механічної системи.

Аксіоми статики

Для вивчення курсу статики твердого тіла розглянемо аксіоми, які лежать в основі цього курсу.

1. Аксіома інерції

Під дією взаємно зрівноважених сил матеріальна точка (тіло) знаходиться в стані спокою або рухається прямолінійно і рівномірно.

2. Аксіома рівноваги двох сил.

Дві сили, прикладенні до твердого тіла, взаємно зрівноважуються тільки в тому випадку, коли їх модулі рівні і вони направленні вздовж однієї прямої в протилежні сторони.

_

A₁ F₁

 

A₂

_

F₂

 

_ _ _ _ _ _

F₁=F₂, F₁↑↓ F₂, (F₁,F₂)~0, F₁,F₂ направленні вздовж прямої А₁А₂

 

3. Аксіома приєднання та виключення зрівноважених сил.

Дія системи сил на тверде тіло не змінюється, якщо до них приєднати або від них виключити взаємно зрівноважені сили.

Наслідок. Не змінюючи кінематичного стану абсолютно твердого тіла, силу можна переносити вздовж лінії дії, зберігаючи її модуль та напрямок.

_

_ P₁’’

Р₁’

В

_

Р₁ А

 

_ _ _ _

Р₁=Р₁’=P₂’, Р₁↑ ↑Р₁’; Р₁’↑↓Р₁’’

( ’, ’’)~0, (, ’’)~0,

тоді ~(, ’, ’’)~ ’

 

4. Аксіома про паралелограм сил

Рівнодіюча двох перетинаючихся сил прикладена в точці їх перетину і зображається діагоналлю паралелограма побудованого на цих силах.

_

F₁ _

А R

 

φ _

F₂

_ _ _

R= F₁+ F₂

Модуль рівнодіючої сили визначається за формулою

__________________

R=√ F₁²+ F₂²+ 2F₁ F₂cos φ

Де φ – кут між напрямками сил.

5. Аксіома рівності дії та протидії.

Всякій дії відповідає рівна і протилежно направлена протидія.

6. Аксіома про затвердження.

Рівновага сил прикладених до тіла, що деформується, зберігається, при його затвердінні.

В’язі. Реакція в’язів

Тверде тіло називається вільним, коли воно може переміщатися в просторі в любому напрямку.

Тіло, що обмежує свободу руху твердого тіла, є по відношенню до нього в’язю. Тверде тіло, свобода руху котрого обмежене в’язями, називається невільним.

Всі сили, діючі на невільне тверде тіло, можна розділити на активні сили (задаваємі) та реакції в’язі.

Задаваємі сили виражають дію на тверде тіло других тіл, визиваючих або здібних визвати зміну його кінематичного стану.

Сила або система сил, що виражає механічну дію в’язі на тіло називають реакцією в’язі.

Одним з основних положень механіки є принцип звільнення твердих тіл від в’язі, згідно якому невільне тверде тіло можна розглянути як вільне, на котре, крім задаваємих сил, діють реакції в’язі.

При рішенні задач необхідно знати напрямок дії реакції.

Розглянемо основні типи в’язів та їх реакції.

1. Гладка поверхня.

Реакція ідеально гладкої поверхні направлено по спільній нормалі в точці дотику до поверхні.

 

_

R

 

 

2. Реакція нитки направлена поздовж нитки до точки її закріплення.

 

_

Т

 

3. Шарнірно-нерухома опора.

Шарнірно-нерухома опора складається з вала та обойми, верхня частина обойми прикріплена до балки, а нижня – до нерухомої площини.

Така опора не дозволяє рухатися тілу відносно площини, а вал може обертатися в обоймі. Реакція проходить через центр вала та точку дотику вала з обоймою. Реакція лежить в площині перпендикулярній осі вала і проходить через вісь.

 

4. Шарнірно-рухома опора, нижня частина обойми покладена на катки, котрі не

_ заважають рухатись (переміщатись) балці паралельно

R опорній площині. Реакція шарнірно-рухової опори

направлена перпендикулярно до опорної площини.

 

 

5. Сферичний шарнір має вигляд котрий показаний на малюнку. Сферичний шарнір

може обертатися в любому напрямку навколо

точки О. Реакція сферичного шарніру проходить

_ через центр сфери, напрямок її невідомий. Так

R само неможливо визначити напрямок реакції

O підп’ятника.

 

 

6. Якщо абсолютно жорсткий невагомий прямолінійний стержень, кінці якого з’єднані

шарнірами з іншими частинами конструкції,

_ знаходяться в рівновазі під дією сил, прикладених

R на його кінцях, то слід реакцію направити

поздовж стержня.

 

Основні задачі статики

Зміст статики абсолютно твердого тіла складається з двох задач.

I. Задача про зведення системи сил: як задану систему сил замінити більш простою системою, еквівалентною їй.

II. Задача про рівновагу: яким умовам повинна задовольняти система сил, щоб вона була зрівноваженою системою.

Система збіжних сил

Система сил, лінії дії котрих перетинаються в одній точці, називається збіжним.

Система збіжних сил еквівалентна одній силі (рівнодіючій), котра дорівнює сумі всіх сил і проходить через точку перетину їх ліній дії.

= + +…

Рівнодіючу систему збіжних сил можна знайти геометричним способом, побудувавши силовий багатокутник або аналітичним способом.

Помістимо начало прямокутної системи координат в точку перетину лінії дії сил, користуючись теоремою, згідно якої проекція суми векторів на деяку вісь, дорівнює сумі проекцій на ту же вісь додаваємих векторів, отримаємо

R_x=ΣP_kx=P_1x+P_2x+…+P_nx

R_y=ΣP_ky=P_1y+P_2y+…+P_ny

R_z=ΣP_kz=P_1z+P_2z+…+P_nz

Де R_x, R_y, R_z, – проекції рівнодіючої на координаційні осі, а P_kx, P_ky, P_kz, проекції сили P_k на ті осі.

Проекція рівнодіючої системи збіжних сил на координатні осі дорівнює алгебраїчним сумам проекцій складових сил на відповідні осі.

Рівнодіюча системи збіжних сил

=R_x +R_y +R_z ___________

Модуль рівнодіючої R=√ R_x²+R_y²+R_z²

Направляючі косинуси

cos(i^R)= R_x/R; cos(j^R)= R_y/R; cos(k^R)= R_z/R.

Умови рівноваги системи збіжних сил

Система збіжних сил еквівалентних рівнодіючій ~

Для рівноваги тіла, котре знаходиться під дією системи збіжних сил, необхідно і достатньо, щоб рівнодіюча їх дорівнювала нулю: =0.

=R_x +R_y +R_z =0 звідки слідує, що R_x=0, R_y=0, R_z=0

Умови рівноваги збіжної системи сил, мають вигляд

ΣP_kx=P_1x+P_2x+…+P_nx=0

ΣP_ky=P_1y+P_2y+…+P_ny=0

ΣP_kz=P_1z+P_2z+…+P_nz=0

Для рівноваги збіжної системи сил необхідно і достатньо рівності нулю алгебраїчних сум проекцій всіх сил заданої системи на кожну з координатних осей.