Некоторые особенности введения правил комбинаторики

В 7-9 классах основное внимание отводится решению комбинаторных задач на применение правил умножения и сложения. Изучение данной темы я начинаю с вопросов: Зачем вводить какие-то правила? Нельзя ли просто пересчитать?

Необходимость диалога диктуется субъективностью ученика и влиянием диалога на интеллектуальное развитие. Через диалог в классе, с самим с собой может осуществляться познавательная деятельность учащихся, только через диалог можно выяснить проблемы учеников.

Любой вопрос учителя должен быть мотивирован. Ученики должны понимать, почему именно сейчас и именно такой вопрос задает учитель, какая польза будет от участия в ответе на поставленный вопрос. До этого момента все комбинаторные задачи решались учащимися перебором различных вариантов. Перебор осуществлялся с помощью предметной деятельности, таблиц, графов, кодирования.

Диалог в классе должен переходить в полилог. Ученик как субъект первого уровня является участником коллективной познавательной деятельности, а это значит, что любая мысль, высказанная одним из учеников, должна оцениваться, отвергаться или подхватываться другими учениками, поскольку опыт деятельности в коллективе должен быть приобретен в школьные годы.

Необходимо стремиться к тому, чтобы инициатором диалога были ученики. Это правило вызвано ролью постановки вопросов при выполнении самостоятельной познавательной и творческой деятельности.

Диалог должен затрагивать связи с прошлым, последующим и будущим. Это связано с тем, что обучение – это процесс, который имеет «вчера, сегодня, завтра», и с ролью установления связей при формировании понятийного мышления.

В процессе обучения диалог должен приобретать личностный характер, так как происходит обращение к личному опыту учащихся. Диалоговая манера «как вы думаете?», «проверьте себя» и т.д. хотя и выглядит порой несколько искусственно и даже наивно, тем не менее весьма интересна и полезна, поскольку нацеливает ученика на самостоятельную работу, а учителя – на определенный способ организации учебного процесса на уроке.

Вопрос можно считать педагогически целесообразным, если ответ на него будит активную, сознательную мысль ученика.

Простой вопрос (Зачем вводить какие-то правила?) приводит учащихся к коллективной познавательной деятельности. «Можно просто пересчитать все варианты, так как интересующих нас объектов конечное число» - говорят некоторые учащиеся. Другие начинают приводить контрпримеры, когда перебор не возможен.

Простой пример показывает необходимость введения правил. Сколько существует различных двузначных чисел, составленных из цифр 1, 2 с повторением? С помощью перебора находим искомые числа: 11,12,21,22. Попробуем решить тем же методом задачу для десятизначных, стозначных чисел. Сколько времени на это решение потратим? Перебор для к -значных чисел не возможен в принципе. А между тем простые соображения позволяют быстро дать ответ: 2^к.

После введения правил комбинаторики обычно у учащихся возникает вопрос: Складывать или умножать?

Правило умножения мало отличается от арифметических задач типа: «Сколько всего листов в 20 стопках тетрадей, если в каждой стопке по 40 тетрадей, а в каждой тетради по 18 листов?» Учащийся сразу даст ответ без упоминаний о комбинаторике 20·40·18=14400. Но ведь листов столько, сколько упорядоченных наборов а₁а₂а₃, где а₁ пробегает значения от1 до 20 (номер стопки), где а₂ пробегает значения от 1 до 40 (номер тетради в стопке), где а₃ пробегает значения от 1 до 18 (номер листа в тетради). Таким образом, решая эту задачу, мы пользуемся принципом умножения.

Следующий вопрос так же необходимо обсудить с учащимися. Зачем надо заниматься «ненужным»? Иногда при решении комбинаторных задач используется прием перехода к множеству «ненужных» (т.е. не обладающих требуемым свойством) объектов.

Рассмотрим пример. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1?

Всего пятизначных чисел 2⁵ , «ненужных» (тех, где на первом месте стоит 0) - М=2⁴, значит из цифр 0, 1 можно составить 2⁵-2⁴=32-16=16 пятизначных чисел.

Изложенный прием перехода к дополнительному множеству очень прост. А вот забывают про него обучающиеся часто.

2.1.4. Введения понятий размещений, перестановок и сочетаний

Многие исследователи признавали особую роль понятийного мышления в структуре интеллекта, рассматривая способность к понятийному отражению как высшую стадию интеллектуального развития, а понятийную мысль - как один из наиболее эффективных познавательных инструментов.

Л.С. Выготский считал, что образование понятий играет ключевую роль в процессе интеллектуального развития, поскольку «... именно образование понятий является основным ядром, вокруг которого располагаются все изменения в мышлении подростка». По мере формирования понятийного мышления не только происходит перестройка связей между отдельными познавательными функциями, но наблюдается изменение природы каждой отдельной познавательной функции.

В старшей школе при изучении комбинаторики вводятся понятия размещений, перестановок, сочетаний. Изучение основных комбинаторных схем можно проводить или на языке выборок, или на языке множеств. Я отдаю предпочтение первому подходу. Во-первых, для учащихся оказывается сложными по­нятия упорядоченного множества (для размещения без повторений), кортежа (для размещения с повторениями). Во-вторых, язык выборок позволяет опираться на содержание конк­ретной рассматриваемой задачи. В-третьих, в математической статистике используются понятия генеральной совокупности и выборки.

Приведу возможный вариант введения понятий размещений, сочетаний, перестановок без повторений спомощью выборок.

С целью экономии учебного времени и для большей четкости и ясности излагаемого материала подбираю минимальное количество подготовительных задач. Так как наилучшие результаты получаются в тех случаях, когда одна и та же подготовительная задача используется несколько раз при изложении новой темы, помогая оттенить различные ее моменты. Рассмотрим 5 квадратов различных цветов (красный, синий, зеленый, белый, желтый).

Назовем генеральной совокупностью без повторений набор некоторого конечного числа различных элементов: а₁, а₂, a₃,...,a_п. Наглядному представлению такой генеральной совокупности может послужить набор из наших 5 квадратов (п=5). Выборкой объема к (к < n) будем называть произвольную группу из к элементов данной генеральной совокупности.

Наглядному представлению такой выборки может служить пестрая лента, построенная из к квадратов различной окраски. Рассматриваем пример с построением ленты из 3 квадратов, взятых из 5 квадратов различных цветов. Каким минимальным признаком могут отличаться узоры двух пестрых лент, построенных из одинакового количества квадратов? Ответы учащихся: отличаются составом квадратов, порядком расположения квадратов.

Каким минимальным признаком может отличиться одна выборка объема к от другой выборки такого же объема? Минимальным признаком, отличающим одну выборку объема к от другой выборки такого же объема, может быть (установление существенных признаков):

их различие по крайней мере одним элементом (а)

или их различие порядком расположения элементов. (б)

Назовем такие выборки размещениями без повторений из п элементов по к.

Строим с учащимися такую наглядную схему рассуждений:

Выборки объема к из генеральной совокупности без повторений объема п

когда одна от другой отличаются по крайней мере одним элементом или

порядком расположения элементов

Размещения без повторений из п элементов по к

Отсюда следует определение понятия:

Размещениями без повторений из п элементов по к называются такие выборки, которые, имея по к элементов, выбранных из числа данных п элементов генеральной совокупности без повторений, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.