Решаем с учащимися следующую задачу. Сколькими способами можно составить наборы из 3 квадратов, взятых из 5 квадратов разного цвета?

Обозначим: красный квадрат— к, зеленый— з, синий— с, т.д. Составим и запишем одну из возможных выборок: ксб. Если мы будем переставлять элементы в этой выборке, то получим 3!=6 вариантов выборок кбс, бкс, скб, ксб, скб, сбк. Все выборки из 5 по3 можно разбить на шесть классов, в каждом классе будет только одна интересующая нас выборка (т.к. порядок расположения элементов в наборе квадратов не важен). Количество всевозможных выборок (число размещений) 5·4·3=60 делим на 6, получаем 10 способов составления наборовиз 3 квадратов, взятых из 5 квадратов разного цвета.

Значит, формула для числа сочетаний легко получается из формулы для числа размещений. Действительно, если составить сначала все k-сочетания из n элементов, а потом переставить входящие в каждое сочетание элементы всеми возможными способами. При этом получатся все k-размещения из n элементов, причем каждое только по одному разу. Но из каждого k-сочетания можно сделать k! перестановок, а число этих сочетаний равно С^к_n. Значит, справедлива формула . Из этой формулы находим, что , т.е. С^к_n·Р_к=А^к_n. Значит, . (3)

Характерный пример сочетаний без повторений — всевозможные варианты состава делегации в количестве, например, трех человек от коллектива, в котором 15 человек.

В результате обсуждения появляется схема (модель системы понятий, имеющая логическую структуру):

Выборки объема к из совокупности п различных элементов

если одна от другой отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения

Размещения без повторений объема к из п данных элементов. Их число А^к_n=n!: (п — к)!

Представленные схемы появляются как продукт анализа, синтеза, обобщения материала. Последняя схема позволяет разом охватить все множество вводимых понятий и проследить отношения между ними. Психологами было показано, что отношения между объектами сохраняются в памяти учащихся значительно дольше. Если объекты расположены в строго продуманной системе, то их восприятие требует минимальных усилий.

Этот способ позволяет по аналогичной схеме ввести понятия размещений, перестановок, сочетаний с повторениями. Приведенные здесь определения (через выборки) более удобны при решении задач, в которых приходится устанавливать, имеем ли мы дело с размещениями, сочетаниями или перестановками.

Исаак Ньютон утверждал, что "при изучении наук примеры полезнее правил". Пример - это яркий образ, правило же - это сухая схема. Рассмотрим вывод свойств сочетаний посредством решения конкретных задач.

Заметим, что выбор к у частников олимпиады равносилен выбору п — к учеников, не участвующих в олимпиаде. Поэтому число способов, которым можно выбрать к человек из п, равно числу способов, которым можно выбрать п — к человек из п, то есть .

Предположим, что в классе учится п человек. Зафиксируем какого-нибудь ученика класса (обозначим его через А). Разобьем все возможные команды по к человек на две группы: те, в которые А входит, и те, в которые А не входит. Число команд в первой группе равно С^к-1_п-1 - надо дополнить команду еще к—1 учениками, выбрав их из п-1 оставшихся. Число команд во второй группе равно С^к_п-1 - теперь из оставшихся п-1 учеников надо выбрать полную команду. Поэтому .

Приведенные задачи позволили без всяких вычислений доказать содержательные факты (свойства сочетаний). Подобное явление вообще характерно для комбинаторики. Часто несколько минут размышлений (проникновения в комбинаторный смысл задачи) могут избавить от громоздких вычислений.