Методические указания к задаче №4

Линейным уравнением называется уравнение вида

где и b – числа, - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

(1)

где , - числа, - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Решением линейной системы называется набор чисел которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная линейная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Т.е. систему уравнений (1)

приводят к эквивалентной системе

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с их коэффициентами в матричной форме, используя расширенную матрицу:

.

Пример. Решить методом Гаусса системы линейных уравнений.

Преобразования Гаусса проведем над расширенной матрицей.

Прямой ход.

~ – ~

~ ~ ~

~ .

Обратный ход. Перейдем к системе уравнений.

Проверка. 8 – 8 + 6 = 6 (верно), 16 + 12 – 8 = 20 (верно),

24 – 8 – 10 = 6 (верно).

Ответ.

Правило Крамера

Рассмотрим линейную систему, в которой число уравнений равно числу неизвестных: (1)

Назовем главным определителем такой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

, (2)

а определителем - определитель, полученный из (2) заменой столбца коэффициентов при x_j на столбец свободных членов. Тогда:

1) Если система (1) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

2) Если = =0, система имеет бесконечно много решений.

3) Если = 0, а хотя бы один из система не имеет решений.

 

Пример.

Решить систему по правилу Крамера: .

Главный определитель

следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем Δ _х, Δ _у и Δ _z:

Отсюда

Решение линейных систем с помощью обратной матрицы

 

Рассмотрим линейную систему (1) и введем следующие обозначения:

- матрица системы, - столбец неизвестных,

- столбец свободных членов. Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения: АХ = В. (3)

Если матрица A – невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу , причем .

Пусть матрица – невырожденная, тогда

.

Умножим обе части равенства (3) слева на Получим

Но тогда , а поскольку

Итак, решением матричного уравнения (3) является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы (1).

 

Пример.

Решить систему с помощью обратной матрицы.

 

Составим матрицу системы:

.

Δ _А = -51 ≠ 0, следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем матрицу А ^-1:

Тогда .

Если , то исходная система превращается в матричное уравнение АХ = В, решение которого
Х = А ^-1 В. Следовательно,

то есть х = 3, у = 1, z = 1.