Общие методические рекомендации. При самостоятельном изучении дисциплины вначале нужно ознакомиться с ее программой

При самостоятельном изучении дисциплины вначале нужно ознакомиться с ее программой. Изучить материал, изложенный в рекомендуемой литературе. При этом следует составить краткий конспект из основных положений, разобрать примеры, приведенные в учебниках.

Если при самостоятельном изучении возникнут трудности, обратиться за консультацией к преподавателю.

После усвоения учебного материала выполняется контрольная работа.

 

 

Программа курса

«Линейная алгебра»

1. Матрицы

Матрицы. Действия над матрицами. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам какого - либо ряда. Понятие об определителях n-го порядка. Ранг матрицы. Собственные значения матриц. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение.

Вопросы для самоконтроля

1. Дать определение матрицы. Виды матриц.
2. Элементарные преобразования матриц.
3. Действия над матрицами: сложение и вычитание, умножение матрицы на число, произведение двух матриц, возведение матрицы в степень, транспонирование матрицы.
4. Дать определение определителя и написать основные свойства определителей.
5. Дать определения минора и алгебраического дополнения матрицы.
6. Записать разложение определителя по элементам какого - либо ряда.
7. Обратная матрица.
8. Ранг матрицы.
9. Собственные значения матриц.

2. Системы линейных уравнений

Основные понятия и определения системы линейных уравнений. Системы n линейных уравнений с n переменными. Матричная запись системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса. Системы m линейных уравнений с n переменными. Система линейных однородных уравнений.

Вопросы для самоконтроля

1. Дать определение системы линейных уравнений.
2. Что называется решением системы линейных уравнений.
3. Написать формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.
4. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.
5. Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений.
6. Системы m линейных уравнений с n переменными. теорема Кронекера – Капели.
7. Дать определение однородной системы линейных уравнений.
8. Необходимое и достаточное условие того, что система однородных уравнений имеет ненулевое решение.

Элементы матричного анализа.

Векторы на плоскости и в пространстве. n-мерный вектор и векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Переход к новому базису. Евклидово пространство. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Квадратичные формы.

Вопросы для самоконтроля

1. Определение вектора на плоскости и в пространстве.
2. Координаты вектора.
3. Дать определение коллинеарных и равных векторов.
4. Линейные операции над векторами: сложение и вычитание двух векторов, умножение вектора на скаляр.
5. Скалярное произведение двух векторов.
6. Угол между векторами. Условие коллинеарности и перпендикулярности двух векторов.
7. Дать определение n-мерного вектора. Линейные операции над n-мерными векторами.
8. Дать определение векторного пространства.
9. Дать определение линейно независимых векторов.
10. Дать определение n-мерного векторного пространства.
11. Дать определение базиса n-мерного векторного пространства.
12. Теорема о представлении вектора через базис.
13. Переход к новому базису.
14. Дать определение линейного оператора.
15. Действия над линейными операторами.

16. Дать определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора.

1. Дать определение квадратичной формы.

4. Элементы аналитической геометрии

Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Основные задачи на метод координат (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении).

Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. системы линейных неравенств.

Уравнение прямой и плоскости в пространстве.

Вопросы для самоконтроля

1. Дать определение системы координат на прямой, плоскости и в пространстве.
2. Записать формулу расстояния между двумя точками.
3. Записать формулы для нахождения координат середины отрезка.
4. Дать определение уравнения линии на плоскости.

5. Записать различные виды уравнения прямой на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении; уравнение прямой в отрезках; общее уравнение прямой. Пояснить смысл коэффициентов.

1. Записать условие параллельности прямых.
2. Записать условие перпендикулярности прямых.
3. Записать формулу расстояния от точки до прямой.
4. Система линейных неравенств на плоскости.
5. Записать и пояснить уравнение плоскости.
6. Уравнение прямой в пространстве.
7. Взаимное расположение прямых в пространстве.
8. Расстояние между прямыми в пространстве.
9. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.
10. Расстояние между плоскостями.
11. Расстояние от точки до плоскости.

5. Основы оптимального программирования

Линейные задачи оптимизации. Основные определения и задачи линейного программирования. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Целочисленное программирование.

Вопросы для самоконтроля

1. Общая постановка задачи линейного программирования (ЛП).
2. Дать определение допустимого решения задачи ЛП и области допустимых решений (ОДР).
3. Виды математических моделей.
4. Алгоритм графического метода решения задач ЛП.
5. Алгоритм симплексного метода.

6. Общая формулировка задачи целочисленного программирования.

1. Метод Гомори.