Линейные операции над матрицами

Суммой матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах:

Например, найти сумму матриц и .

Вычислим элементы матрицы С = А + В, складывая элементы исходных матриц, стоящие на одинаковых местах:

Следовательно,

 

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

 

Например, найти матрицу 5 А – 2 В, если .

.

Итак, 5 А – 2 В .

Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности называется матрица С размерности , каждый элемент которой определяется формулой: Таким образом, элемент представляет собой сумму произведений элементов i -й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей. Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если ).

Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.

 

 

Например, в ыясним, можно ли умножить друг на друга матрицы

и .

Если произведение существует, вычислить его.

 

Сравним размерности матриц А и В: A [3×2], B [2×2]. Следовательно, поэтому произведение АВ [3×2] существует, а произведение ВА – нет.

Найдем элементы АВ:

(ab)₁₁ = 0 · 5 + 3 · 7 = 21; (ab)₁₂ = 0 · 6 + 3 · 8 = 24;

(ab)₂₁ = 4 · 5 – 2 · 7 = 6;

(ab)₂₂ = 4 · 6 – 2 · 8 = 8; (ab)₃₁ = 1 · 5 – 1 · 7 = -2;

(ab)₃₂ = 1 · 6 – 1 · 8 = -2.

 

Таким образом, , ВА не существует.

Методические указания к задаче № 3

Ранг матрицы

 

Минором порядка k матрицы А называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов данной матрицы. Таким образом, каждый элемент матрицы является ее минором 1-го порядка.

Ранг матрицы – это порядок ее наибольшего ненулевого минора (обозначения: r(A), R(A), Rang A).

Пример.

Определить ранг матрицы

.

 

Единственным минором максимального (3-го) порядка для матрицы А является ее определитель. Если Δ _А ≠ 0, r (A) = 3; если Δ _А = 0, r (A) < 3.

Найдем Δ _А разложением по первой строке:

Следовательно, r (A) < 3. Поскольку матрица А содержит ненулевые элементы, r (A) > 0. Значит, r (A) = 1 или r (A) = 2. Если найдется минор 2-го порядка, не равный нулю, то r (A) = 2.

Вычислим минор из элементов, стоящих на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов:

 

Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно. Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду (когда элементы, стоящие ниже равны 0), воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы (эквивалентными преобразованиями). К ним относятся:

1) транспонирование;

2) умножение строки на ненулевое число;

3) перестановка строк;

4) прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число;

5) вычеркивание нулевой строки.

Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые – в ненулевые. Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг.

Пример.

Определить ранг матрицы

.

У матрицы А существуют миноры до 4-го порядка включительно, поэтому r (A) ≤ 4. Разумеется, непосредственное вычисление всех миноров 4-го, 3-го и т.д. порядка потребовало бы слишком много времени. Поэтому, используя элементарные преобразования, приведем матрицу А к треугольному виду. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы элемент а ₁₁ стал равным 1:

А ~ .

Прибавим к третьей строке первую, ко второй – удвоенную первую, к четвертой – первую, умноженную на 3. Тогда все элементы 1-го столбца, кроме а ₁₁, окажутся равными нулю:

А ~ .

Вычтем вторую строку полученной матрицы из третьей и четвертой строк:

А ~

и вычеркнем нулевые строки:

А ~ .

Итак, ранг матрицы А равен рангу полученной матрицы размера 2×6, т.е.

r (A) ≤ 2. Минор

следовательно, r (A) = 2.