Логическая корректность рассуждения 2 страница

В зависимости от характера подтверждающих следствий из индуктивного предположения можно сформулировать производные схемы индуктивного вывода.

Рассмотрим пример. Допустим, надо выяснить личностные качества определенного человека, которые по предположению являются достаточно высокими (Т). Что мы в этом случае делаем? Обращаемся к его товарищам, хорошо знающим образ жизни этого человека. Каждая полученная от них положительная характеристика (А1Г..., Ап) делает предположение Т все более и более правдоподобным. Индуктивная схема рассуждения в таком случае имеет следующий вид:

Ах,..., Ап_х — ранее подтвержденные следствия

А истинно

Т несколько более правдоподобно

Теперь обратимся с тем же вопросом к коллеге, знающему интересующего нас человека по работе. Как его подтверждение (Ап+1) положительной характеристики личности будет влиять на степень достоверности индуктивного предположения Т? Очевидно, что подтверждение нового следствия Ап+1 имеет гораздо большее значение, чем сделанные ранее, так как оно отличается от однопорядковых подтверждений А1?..., Ап. Индуктивная схема рассуждения в этом случае выглядит следующим образом.

Т=>АХ,..., Т=»Ап, Т=>Ап+1

At,..., А — ранее подтвержденные однопорядко-вые следствия

Ап+1 отличается от А1?..., Ап

Ап+1 истинно

Т значительно более правдоподобно.

Итак, в индуктивном рассуждении подтверждение нового следствия имеет большее или меньшее значение в зависимости от того, более или менее это новое следствие отличается от ранее подтвержденных следствий.

Другой пример. В квартирной краже подозревается приходящая домработница (Т), которая имела свои ключи от квартиры (Ах) и обычно занималась уборкой во время, совпадающее с моментом совершения кражи (А2). Схема индуктивного рассуждения в этом случае имеет следующий вид.

aj вполне вероятно

Ах истинно

Т правдоподобно

А2 маловероятно без Т

Т значительно более правдоподобно.

Итак, в индуктивном рассуждении подтверждение следствия имеет большее или меньшее значение в зависимости от того, более или менее само по себе вероятно данное следствие. Подтверждение наиболее неожиданного следствия является наиболее убедительным.

До сих пор мы рассматривали случаи индуктивных рассуждений, в которых индуктивные подтверждения являлись дедуктивными следствиями индуктивного предположения. Такого типа рассуждения характерны для операции и vkthbhoto обобщения. Изменим несколько рассматриваемую ситуацию.

Допустим, требуется опровергнуть предположение Т. Попытка его дедуктивного опровержения, то есть доказательства -т Т, не принесла успеха, но в процес-

се анализа выяснилось, что предположение Т является дедуктивным следствием из общего основания А, относительно которого можно сказать определенно, истинно оно или ложно. Тогда возможны две схемы логического контроля за рассуждением — дедуктивная и индуктивная.

Доказательная схема подтверждения А=>Т

А истинно

Т истинно

Итак, когда основание, подтверждающее индуктивное предположение, опровергается, степень правдоподобности данного предположения в индуктивном рассуждении уменьшается.

Исследуем два противоречивых предположения Tj и Т2, соперничающих между собой. С точки зрения классической логики ясно, что если Т1 истинно, то Т2 ложно, и наоборот. В научно-исследовательской практике этот ответ не столь однозначен, так как здесь принцип двузначности не всегда предполагается; поэтому конкурирующие гипотезы скорее несовместимы, то есть не могут быть совместно истинными, чем противоречивы. Если доказано, что одно из предположений, скажем, Тг истинно, то, конечно, гипотеза Т2 опровергается. Однако, если Tj ложно, то Т2 может быть и истинным и ложным, но, скорее всего, истинным, так как данные два предположения конкурируют между собой. Таким образом, имеются две схемы рассуждений.

Доказательная схема Эвристическая схема

выбора выбора

Tj несовместимо с Т2 Tt несовместимо с Т2

Tj истинно Tj ложно

Т2 ложно Т2 более правдоподобно

Итак, если в индуктивном рассуждении опровергается конкурирующее данному индуктивное предположение, то степень правдоподобности данного предположения увеличивается.

«Мы знаем, что вероятность хорошо установленной индукции велика, но когда нас просят назвать ее степень, мы этого сделать не можем. Здравый смысл говорит нам, что некоторые индуктивные аргументы сильнее, чем другие, и что некоторые являются очень сильными. Но насколько сильнее или насколько сильными, выразить мы не можем» (Джон Кейнс).

Упражнения

4.7. Определите, какие из приведенных ниже рассуждений являются дедуктивными, а какие индуктивными? Укажите схему рассуждения.

1. Мыслю, следовательно, существую.

2. Существую, следовательно, мыслю.

3. Понять — значит — решить.

4. Решить — значит — понять.

5. Подтвердил, следовательно, доказал.

6. Доказал, следовательно, подтвердил.

7. 3 < 4, следовательно, 3 < 5.

8. 3 < 4, следовательно, 5 < 6.

4.8. Найдите индуктивное обобщение, то есть правило, которому подчиняются следующие последовательности. 1.0,1,4,9,16,25,36...

2. -1,1, 3, 5, 7, 9,11...

3. -2,0,2,4,6,8,10... 4.2,3,4,6,8,12,14...

4.9. Два игрока поочередно покрывают круглый стол одинаковыми монетами по одной за каждый ход. Игрок, который кладет на стол последнюю монету, забирает все деньги. Какой игрок должен выиграть, если каждый играет наилучшим образом? Найдите решение задачи в случаях, когд'а стол имеет квадратную, прямоугольную, любую форму. Укажите типы индуктивных рассуждений, примененных в решении задачи. (Начните решение с крайнего частного случая, когда стол настолько мал, что покрывается монетой с первого хода.)

4.10. Решите следующие анаграммы и определите недостающее слово. Укажите тип применяемого индуктивного рассуждения.

1. КЕАР РЕОЗО РЕОМ?

2.? ЯРМЯПА СПОЛЬСТОК.

3. ЩИНЕЯХИ:? БАРЖЕГ ЗАЙРОБ.

4.11. Решите пример из раздела «Элиминативная индукция».

4.12. Решите следующие анаграммы и распределите полученные слова по группам. Укажите

виды логических операций и типы рассуждений, используемых при решении задачи.

КИЛАОГ СТОРПОКУП КЕТАФИОН
СПЕРУТПЕЛИНЕ КИРТАРИО

КАСТИССИН ШОНВАРЕНИРАПУ
ФОГИЛЯМОРО ТАКИЕКИДАЛ.

4.13. (Д.Пойя) Подсудимый обвиняется во взрыве яхты отца своей приятельницы. Обвинение предъявляет суду документ, подтверждающий покупку обвиняемым накануне некоторого количества динамита. Постройте схему индуктивного рассуждения и определите степень достоверности подтверждения, предъявленного стороной обвинения.

4.4. Рассуждение по аналогии

Рассуждением по аналогии называется тип правдоподобного рассуждения, в котором делается вывод о принадлежности некоторого признака одной системе на основании принадлежности данного признака другой системе, если две сравниваемые системы сходны по ясно определенным критериям.

Аналогия свойств — рассуждение, в котором делается вывод о принадлежности некоторого свойства элементу одной системы на основании принадлежности подобного свойства элементу другой системы, сходной с первой по ясно определенным критериям.

СТРОНЦИЙ АСПЕКТ ПРИПЕВ?

Аналогия отношений — рассуждение, в котором делается вывод о некотором отношении между элементами одной системы на основании установленного подобного отношения между элементами другой системы, сходной с первой по ясно определенным критериям.

1. СОФА 2. НОС? 2. НОС 3.?

Аналогией предметов называется рассуждение, в котором делается вывод о принадлежности некоторого элемента одной системе на основании принадлежности подобного элемента другой системе, если две системы сходны по ясно определенным критериям, а сравниваемые элементы аналогичны по свойствам или отношениям.

•

миля

досьол

(анаграмма)

ДОЛЯ

Распространенная аналогия — рассуждение, в котором делается вывод от сходства явлений к сходству причин. Примером распространенной аналогии является диагностирование.

Строгая аналогия — рассуждение, в котором делается вывод от сходства двух предметов по одному признаку к их сходству по другому признаку, если сравниваемые признаки взаимозависимы.

Упражнение

4.14. Решите все задачи, приведенные в качестве примеров рассуждения по аналогии. Составьте свои примеры для всех типов аналогии.

4.5. Силлогистика

Исторически первой дедуктивной теорией рассуждения является учение Аристотеля о силлогизмах, которое в последующем получило название «традиционная логика». В силлогистике анализируются правила заключения из посылок, выраженных в категорической форме безусловных атрибутивных суждений о принадлежности данного свойства рассматриваемому предмету.

Категорические суждения по качеству делятся на утвердительные и отрицательные. Структура утвердительных категорических суждений имеет вид 5 есть Р, где S является субъектом суждения, то есть термином, обозначающим понятие предмета суждения; Р — предикат суждения, то есть термин, обозначающий понятие свойства, приписываемого предмету суждения. Пример утвердительного суждения: «Человек — это разумное существо». Отрицательные категорические суждения имеют структуру S не есть Р. Например, «Обвиняемый не обязан доказывать свою невиновность».

Категорические суждения по количеству делятся на общие и частные. Суждение называется общим, если объем понятия, обозначенного субъектом суждения, полностью включается в объем понятия, обозначенного предикатом суждения, либо полностью исключается из этого объема. Структура общих категорических суждений имеет вид Все S есть Р или Все S не есть Р. Например, «Все люди смертны», «Любое простое число не делится на 12». Утвердительное суждение называется частным, если пересечение объемов субъекта и предиката суждения, по крайней мере, не пусто. Например, «Существует простое четное число». Отрицательное суждение называется частным, если, по крайней мере, один элемент объема субъекта суждения не включается в объем предиката суждения. Например, «Некоторые студенты не посещают занятия». Структура частных категорических суждений имеет вид Некоторые S есть Р или Некоторые S не есть Р. Таким образом, можно различать общеутвердительные (А), общеотрицательные (Е), час-тноутвердительные (1) и частноотрицательные (0) категорические суждения.

Простым категорическим силлогизмом называется рассуждение в форме последовательности трех категорических суждений, заключение которого имеет субъектно-предикатную структуру (есть Р), а две посылки объединены средним термином (М). Простой категорический силлогизм имеет следующий вид:

Е Любой честный человек не любит лжецов М Р
А Каждый принципиальный человек честен SM

Е Все принципиальные люди не любят лжецов SP

Квалификация категорических суждений, образующих простой категорический силлогизм, по качеству и количеству называется модусом силлогизма. Таким образом, представленный выше силлогизм имеет модус ЕАЕ. Распределение среднего термина в посылках простого категорического силлогизма определяет фигуру силлогизма. Возможны следующие четыре фигуры силлогизма:

1 фигура 2 фигура 3 фигура 4 фигура

МР РМ МР РМ

SM SM MS MS

SP SP SP SP

Таким образом, представленный выше силлогизм имеет первую фигуру.

Совершенным силлогизмом называется логически корректный силлогизм, в котором заключение логически следует из посылок. Каждой фигуре силлогизма соответствует последовательность модусов, определяющих совершенный категорический силлогизм.

1 фигура: ААА ЕАЕ All ЕЮ (AAI ЕАО)

2 фигура: ЕАЕ АЕЕ ЕЮ АОО (ЕАО АЕО)

3 фигура: AAI IAI АН ЕАО ОАО ЕЮ

4 фигура: AAI АЕЕ IAI ЕАО ЕЮ (АЕО) д В скобках указаны производные модусы совершенных силлогизмов. Например, модус AAI первой фигуры произведен от модуса ААА. Таким образом, приведенный выше простой категорический силлогизм относится к числу совершенных силлогизмов, так как имеет первую фигуру и модус ЕАЕ, содержащийся в таблице модусов для первой фигуры.

Проверка логической корректности простого категорического силлогизма может осуществляться совмещением круговых схем, построенных для каждой из двух посылок. В совершенном силлогизме такая операция иллюстрирует соотношение объемов субъекта и предиката, утверждаемое в заключении силлогизма. Для приведенного выше категорического силлогизма круговые схемы имеют следующий вид:

Из схемы видно, что объемы субъекта и предиката не пересекаются.

Простой категорический силлогизм может быть логически корректным, но ненадежным, если одна из посылок в нем окажется ложной. Рассмотрим пример такого силлогизма.

МР SM

Е Все выдающиеся писатели не люди SP

Силлогизм относится ко второй фигуре и имеет модус АЕЕ. Проверка по таблице модусов совершенных силлогизмов показывает, что он является логически корректным рассуждением. Однако, в зависимости от конкретной интерпретации термина «смертей» — физической или же социальной — одна из посылок оказывается ложной. Таким образом, данный силлогизм логически корректен, но не надежен. Если же в первой посылке средний термин интерпретировать как «физически смертей», а во второй посылке — «социально бессмертен», то возникает ошибка подмены понятий в среднем термине. То есть посылки в рассуждении не объединены средним термином (одним и тем же по значению) и данное рассуждение вообще не является силлогизмом.

Рассуждения в обычном разговорном языке не всегда имеют стандартную форму простого категорического силлогизма, поэтому проверке логической корректности силлогизма должен предшествовать этап его стандартизации. Рассмотрим следующий пример силлогизма:

Только люди верят в конец света

Нет человека, не верящего в гармонию мира

Никто из неверящих в гармонию мира не верит в конец света.

Ни одно из категорических суждений, образующих данный силлогизм, не имеет стандартной структуры. Преобразуем каждое суждение силлогизма в стандартную форму следующими операциями:

Обращение: Все, кто верят в конец света,

являются людьми.

Превращение: Все люди верят в гармонию мира.
Противопоставление Все, кто верят в конец света, верят
предиката: в гармонию мира.

Обращением называется преобразование суждения, в результате которого субъект исходного суждения становится предикатом результирующего, а предикат исходного — субъектом результирующего. Превращением называется преобразование суждения в суждение, противоположное по качеству с предикатом, противоречащим предикату исходного суждения. Противопоставлением предикату называется преобразование суждения, в результате которого субъектом становится понятие, противоречащее предикату, а предикатом — субъект исходного суждения.

Наконец, переставим местами посылки рассуждения и получим стандартную форму простого категорического силлогизма:

А Все люди верят в гармонию мира М Р
А Все, кто верят в конец света, являются людьми SM

А Все, кто верят в конец света, верят и в гармонию
мира SP

Полисиллогизмом называется последовательность простых категорических силлогизмов, в которой заключение предшествующего силлогизма является посылкой последующего. Например, «Никто не верит политикам. Каждый верит в себя. Верящий в себя, не верит политикам. Политик верит в себя. Значит, он не верит политикам».

Энтимемой называется простой категорический силлогизм, в котором опущена посылка или

заключение. Например, «Действительность разумна. Следовательно, действительность подвержена сомнению». Соритом называется полисиллогизм с опущенными промежуточными посылками или заключениями. Например, «Девушки не любят, когда с ними спорят. Девушки не могут быть философами. Поэтому некоторые девушки никогда не ошибаются».

Упражнения

4.15. Проверьте логическую корректность силлогизма, полисиллогизма, знтимемы и сорита, представленных выше в качестве примеров, на круговых схемах. Для энтимемы и сорита предварительно реконструируйте опущенные промежуточные шаги рассуждения.

4.16. Проверьте логическую корректность и надежность следующих простых категорических силлогизмов, предварительно представив их в стандартной форме. Проверку проведите по таблицам совершенных силлогизмов и методом круговых схем.

1. Только в споре рождается истина.

Кет такого спора, в котором бы один не был глупцом, а другой мошенником.

Истина открывается глупцом или мошенником.

2. Некоторые высказывания противоречивы. Лишь непротиворечивое возможно.

Существуют невозможные высказывания.

3. Если и есть любители получать двойки, то это не студенты. Все студентки любят мороженое.

Некоторые любители мороженного не любят получать двойки.

Классическая логика

5.1. Язык классической логики

Классическая логика предикатов является расширением классической логики высказываний за счет более глубокого и детального анализа структуры языковых выражений. Элементарными осмысленными выражениями языка логики высказываний являются атомарные формулы и соответствующие им атомарные высказывания типа: «Сегодня прекрасная погода», «Я получил двойку на экзамене» или «Политическая ситуация в настоящее время характеризуется стабильностью». Однако логика высказываний обладает слабыми выразительными возможностями своего формального языка. В ней с помощью логических операторов и связок — отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивален-ции, изучаются логические правила построения или образования структурно более сложных формул язы-

ка, а также логические правила преобразования одних логических структур языка в другие методом эквивалентных преобразований, либо методом дедуктивного вывода некоторой формулы языка из предшествующих ей в логическом выводе формул. Скажем, высказывание «Если я не принесу цветы, то она обидится на меня», то есть —iA—»В, эквивалентно преобразуется в высказывание «Неправда, что я не принесу цветы, но она не обидится», —|(-|Ал —iB). Высказывание «Он знает логику», А, логически выводимо из пары высказываний: «Если он не знает логику, то он глуп», —1 А—>В, и «Он не глуп», —iB, то есть имеется дедуктивный вывод: —iA->B, —iB=>A.

Очевидная слабость выразительных возможностей формального языка логики высказываний заключается в том, что в нем не проводится логический анализ структуры самого атомарного высказывания. Тот факт, что этот недостаток языка логики высказываний не является тривиальным, можно продемонстрировать на следующих примерах. Интуитивно ясно, что высказывание «Все политики — болтуны» можно эквивалентно преобразовать в высказывание «Не существует молчаливых не болтливых политиков», однако данная логическая интуиция не может быть прояснена средствами логики высказываний. Другой пример: этих средств недостаточно для обоснования вывода: Бога нет («медицинский факт»). Значит, я не бог. Примеры показывают ограниченные выразительные возможности языка логики высказываний и определяют необходимость его расширения.

Формальный язык классической логики предикатов полностью содержит все логические правила образования и преобразования формул языка,

принятые в логике высказываний. В то же время в нем проводится дальнейший анализ, связанный со структурой атомарных высказываний. По аналогии с силлогистикой, в которой простое категорическое суждение рассматривается в его субъективно-предикатной структуре, в атомарном высказывании языка логики предикатов выделяются предметные или индивидные символы и предикатные символы. Индивидные символы выражают в языке логики предикатов, как обычно, собственные имена или единичные термины, которые в качестве своих значений указывают на отдельные предметы, индивиды из фиксированного предметного индивидного универсума мышления. Например, собственное имя «Анна» указывает в качестве своего значения на человека в контексте фиксированной группы людей. Имя «Венера» в контексте астрономии указывает на планету Солнечной системы, а в контексте древнегреческой мифологии — на богиню любви. На отдельные, единичные, индивиды из предметного универсума указывают и такие термины, как «этот человек», «данный прецедент», «определенная выше ситуация» и так далее. Термины, указывающие на единичные предметы из универсума мышления в качестве своих значений, будем называть индивидными константами.

Индивидные термины естественного языка и индивидные символы языка логики предикатов могут не указывать явным образом на определенный единичный индивид в качестве своего значения в некотором фиксированном предметном универсуме. К таким терминам можно отнести выражения «кто-то», «что-то», «некто», «нечто» и так далее. Значения

подобных терминов мыслятся как «пробегающие» по предметному универсуму, когда каждый индивид из универсума мог бы быть, а мог бы и не быть значением данного термина. Следующие примеры наглядно иллюстрируют подобную интерпретацию терминов: «Он всегда подписывается псевдонимом "Друг"», «Кто-то потушил свет», «Что-то здесь не сходится», «Я уже видел нечто подобное». Термины, которые не указывают явным образом на конкретный единичный индивид в качестве своего значения, но предполагают наличие такого значения в фиксированном предметном универсуме, будем называть индивидными переменными.

Таким образом, формальный язык классической логики предикатов включает в себя не только высказывания, но и индивидные константы и переменные. Это, конечно, расширяет его выразительные возможности и логический потенциал.

Структура атомарного высказывания языка логики предикатов помимо индивидных символов — индивидных констант и переменных — содержит так называемые предикатные символы. Предикатные символы, или просто — предикаты, указывают в качестве своего значения на определенные свойства индивидов или на некоторые отношения между индивидами. Схемы предикатных выражений языка могут выглядеть следующим образом: «- прекрасен», «- любит -»,«-,-,- определяют деловой треугольник в советский период». Предикатные выражения языка фиксируют свойства, приписываемые некоторому индивиду в атомарном высказывании, — «Аполлон прекрасен», двуместные отношения между индивидами — «Миша любит Машу», трехместное

отношение — «Администрация, партком и профком составляли рабочий треугольник учреждения в советский период», «Маша, Миша и Коля составляют пресловутый любовный треугольник», четырехместные отношения — «АВ, ВС, CD, DA — упорядоченная четверка, образующая стороны квадрата». Таким образом, каждое атомарное высказывание языка логики предикатов включает в свою структуру предикатный символ и один или несколько индивидных символов.

Пусть Р1 — одноместный предикат «быть доказанным», Р2 — двуместный предикат «кричать на», at — «этот тезис», а2 — «жена», а3 — «муж». Тогда Pl(aj) можно прочесть как: «Этот тезис доказан», высказывание -P2(a2, а3)Р2(а3, а2) читается: «Неправда, что жена накричала на мужа, это муж наорал на жену». Высказывание Рх(х) читается: «Нечто доказано», Р2(х, у) — «Кто-то накричал на кого-то».

Чтобы прояснить вопрос, всему ли множеству индивидов из предметного универсума принадлежит некоторое свойство или только части индивидов универсума, в язык логики предикатов вводятся кванторы: квантор всеобщности — vx> читается: «Для всякого х», и квантор существования — Зх, читается: «Для некоторого х». Так, формула логики предикатов vxP(x) означает высказывание «Для всякого х, х обладает свойством Р»; формула ЗхР(х) означает — «Для некоторого х, х обладает свойством Р»; формула vx13x2R(x1, x2) означает — «Для каждого хх существует х2 такой, что хх находится с х2 в отношении R». Логика предикатов иногда иначе называется кванторной логикой.

Таким образом, формальный язык классической логики предикатов обладает необходимыми средства-

ми логического анализа структуры естественного языка. Этот факт приобретает важное значение не только для математики и естественнонаучного знания, но и для различных областей гуманитарного познания, где изучаются методы и средства логического моделирования: для лингвистики, экономики, социологии.

Введем далее строгие формулировки языка кван-торной логики, необходимые для исследования теории, методов и средств классической логики предикатов, а также ее применения к анализу естественного языка. Объективный формальный язык классической логики предикатов является расширением языка классической логики высказываний. Для целей, в которых будет использован данный объективный язык, его синтаксис ограничивается символами, принадлежащими к следующим категориям.

Индивидные символы. Язык классической логики предикатов (КЛП) содержит счетные множества индивидных констант ах,..., аш, связанных предметных переменных хх,..., хт, а также свободных предметных переменных уа,..., ут. Различные обозначения для свободных и связанных предметных переменных вводятся исключительно в технических целях. Различие свободных и связанных переменных определено ниже.

Предикатные символы. Язык КЛП содержит счетное множество п-арных предикатных символов Р",..., Р^ для п = О и более. 0-местные предикатные символы образуют счетное множество пропозициональных переменных языка классической логики высказываний (КЛВ).

Высказываниеобразующие операторы. Язык КЛП содержит следующие символы: —i — для одноместного

оператора «неверно, что»; —> — для двуместной пропозициональной связки «влечет»; v* — для универсального квантора «для каждого х такого, что».

Технические символы. (,) — скобки.

Определение 5.1. Понятия термина, атомарной формулы и формулы языка КПП определяются индуктивно совместными условиями:

Каждая свободная предметная переменная есть термин.

Каждая индивидная константа есть термин.

Если Р" — n-местный предикатный символ, n sO, t,,.... tn — термины, то P(t1f..., tn) есть атомарная формула.

Каждая атомарная формула есть формула.

Если А и В—формулы, то —i А, А —> В есть формулы.

Если A(t) — формула, t — термин, х — связанная предметная переменная, не входящая в А, то V х А(х) есть формула.

Термины, атомарные формулы и формулы языка КЛП образуются только в соответствии с вышеперечисленными условиями.

Определение 5.1, как и последующие, является конструктивным. В нем понятия термина, атомарной формулы и формулы определяются через способ указания на их построение. Это делает возможным строго отличить осмысленные выражения языка КЛП от бессмысленных.

Определение 5.2. Понятия свободного и связанного вхождения предметной переменной в формулу А языка КЛП определяются индукцией по длине формулы А.

А = P(tt,..., tn): вхождение переменной у в формулу А свободно, если у = t,, 1 < i < n; А не содержит связанных вхождений.

А = V хВ(х): вхождение переменной у в формулу А свободно, если вхождение у в В свободно и у?ьх; вхождение переменной х в формулу А связано.

А =—1 В: вхождение переменной у (переменной х) в формулу А свободно (связано), если у (х) в В свободно (связано).

А = В —> С: вхождение переменной у (переменной х) в формулу А свободно (связано), если свободно (связано) вхождение у (х) в формулу В или С.

Таким образом, предметные переменные могут входить в формулы свободно и связанными кванти-фикацией. Например, в формуле КЛП:

Vx^Afr^y)-» -i3x2B(x2,x1))

предметные переменные хх и х2 связаны соответственно универсальным квантором и квантором существования. Свободной в формуле является переменная у. Различия между свободным и связанным вхождением предметных переменных в формулу важны, так как они определяют различные области интерпретации для этих переменных. Универсумом значений для свободной предметной переменной является весь фиксированный универсум мышления в целом, в то время как для связанной предметной переменной область интерпретации ограничена областью действия соответствующего квантора.

Определение 5.3. Множество всех подформул формулы А определяется индукцией по длине А.

А = P(t,,..., tn): формула Р(1,,..., tn) является единственной подформулой формулы А.

А =—iB: подформулами формулы А являются все подформулы формулы В и сама формула —iB.

А = В —> С: подформулами формулы А являются все подформулы формул В и С и сама формула

в-»е.

А = V хВ(х): подформулами формулы А являются все подформулы каждой формулы вида B(t), где t — произвольный термин, и сама формула V хВ(х).