Ознаки подільності на 2 і 5, 4 і 25, 3 і 9, на складені числа

Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 9 чисел, записаних у десятковій системі числення, відомі з математики середньої школи. Обґрунтуємо ці ознаки, спираючись на введене означення відношення подільності та його властивості.

Теорема про подільність на 2 і 5: Для того щоб число ділилося на 2 (на 5), необхідно й достатньо, щоб на 2 (на 5) ділилось число його одиниць.

Доведення: Запишемо число а = а_na_n-1 … a₀ у вигляді суми розрядних одиниць, яку розіб’ємо на два доданки: а = (а_n 10 ⁿ + … + a₁ 10) + a_{0 .} Як бачимо, перший доданок ділиться і на 2, і на 5. Отже, щоб сума ділилась на 2 або на 5, необхідно і достатньо, щоб і другий доданок а₀ ділився відповідно на 2 або на 5. Теорему доведено.

Наслідок 1: Для того, щоб число а ділилось на 2, необхідно і достатньо, щоб воно закінчувалось однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Наслідок 2: Для того, щоб число а ділилось на 5, необхідно і достатньо, щоб воно закінчувалось цифрою 0 або 5.

Теорема про подільність на 4 і 25: Для того щоб число ділилось на 4 (на 25), необхідно і достатньо, щоб на 4 (на 25) ділилося число, утворене його двома останніми цифрами.

Доведення: Число а = а_na_n-1 … a₀ запишемо у вигляді суми двох доданків: а = (a_n 10 ⁿ + … + a₂ 10²) + (a₁ 10 + a₀). Перший доданок ділиться як на 4, так і на 25. Отже, число а як сума двох доданків ділиться на 4 (на 25) тоді і тільки тоді, коли на 4 (на 25) ділиться число а₁а₀ = а₁ 10 + а₀, утворене двома останніми цифрами числа а. Теорему доведено.

Теорема про подільність на 3 і на 9: Для того щоб число а ділилось на 3 або на 9, необхідно і достатньо, щоб на 3 або на 9 ділилась сума цифр цього числа.

Доведення: Запишемо число а у вигляді: а = a_n 10 ⁿ + … + a₁ 10 + a₀.

Оскільки 10 = 9 + 1, 10² = 99 + 1,..., 10 ⁿ = +1,

то a_n (99..9 + 1) + … + a₁ (9 + 1) + a₀ = (a_n 99..9 + … + a₁ 9) + (a_n + … + a₁ + a₀).

Перші доданки суми діляться як на 3, так і на 9. Отже, для того щоб число а ділилось на 3 або на 9, необхідно і достатньо, щоб сума одноцифрових чисел, виражених його цифрами (сума цифр) a_n + … + a₁ + a_{0 ,} ділилась на 3 або на 9. Теорему доведено.

Доведені вище ознаки подільності дають змогу визначити подільність чисел на 2, 3, 4, 5, 9 і 25. Природно виникає питання, чи існують ознаки подільності на 6, 12, 30 і взагалі на будь-яке складене число.

Ознака подільності на 6: Для того, щоб число а ділилося на 6, необхідно й достатньо, щоб воно ділилося на 2 і на 3.

Доведення: Необхідність. Нехай а 6. Тоді оскільки а 6 і 6 2, то а 2. Через те що а 6 і 6 3, то а 3 (за властивістю транзитивності).

Достатність: Якщо а 2 і а 3, то а – спільне кратне чисел 2 і 3, а будь-яке кратне чисел ділиться на їхнє НСК. Отже, а К (2, 3). Оскільки Д(2, 3) = 1, то К (2, 3) = 2∙3 = 6. Таким чином, а 6. Теорему доведено.

Теорема про подільність на складені числа: Для того, щоб натуральне число ділилось на складене число n = bc, де НСД (b,c) = 1, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на b і с.

Доведення цієї теореми аналогічне доведенню ознаки подільності на 6.

Зауважимо, що дану теорему можна застосовувати багаторазово.

Так, щоб число ділилося на 60, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 4 і на 15. У свою чергу, щоб число ділилися на 15, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і на 5. Отже, для того, щоб число ділилося на 60, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 4, на 3 і на 5.