Биномиальная модель оценки колл-опциона

Биномиальная модель (binomial model) оценки "истинной", или внутренней (теоретической), цены опциона в текущий момент (t = 0) строится на простейшем допущении о поведении цены исходного актива. Биномиальная модель иногда называется по фамилиям предложивших ее авторов: моделью Кокса — Росса — Рубинштейна (Сох — Ross —Rubinstein).

Представление модели обычно строится для европейского опциона, который может быть исполнен в день погашения. Если в качестве актива рассматривается акция, то предполагается, что дивиденд по ней не выплачивается в течение срока действия опциона. Для каждого периода времени существуют только две возможности движения цены актива: вверх до значения Su (up) или вниз до значения S Предполагается известной вероятность изменения цены:

Цена опциона выводится методом формирования такого портфеля из исходных активов, доступных инвестору на рынке, который обеспечивал бы такой же денежный поток инвестору, что и колл-опцион. На рынке инвестору доступны исходный актив, на который создается право покупки (рассматривается колл-опцион), и безрисковые варианты инвестирования и займа. В результате арбитражных операций на совершенном рынке активы и портфели активов будут оцениваться по прогнозируемому денежному потоку и риску, связанному с получением этих потоков. Строя портфель с денежными потоками, как по опциону, можно утверждать, что цена опциона равна оценке портфеля. В противном случае инвестор получит арбитражный доход, покупая относительно дешевый альтернативный портфель и продавая относительно дорогой.

Портфель должен воспроизводить характеристики колл-опциона (денежные потоки и риск). Построить этот портфель можно, например, из исходных активов и безрисковых облигаций.

Цена колл зависит от цены исходного актива. Пусть при цене актива S и цена опциона равна Си в момент tI, а при цене актива Sd цена опциона Сd.

Портфель включает: 1) безрисковые облигации в денежном выражении В (цена облигации на количество облигаций); 2) покупку исходных активов в количестве R. Это количество покупаемых активов определяется из соотношения

Так как для однопериодного действия опциона, когда известны цены актива будущего периода, можно рассчитать цену опциона на конец периода t=1, то может быть найден портфель (определено число покупаемых исходных активов и число безрисковых облигаций). Портфель создается для каждого временного периода (для каждого периода в модели определяются значения Rt и Bt), что позволяет рассчитать его оценку и соответственно оценку опциона (текущую оценку опциона как актива, генерирующего денежные потоки на каждом временном промежутке). Конечным результатом итеративного процесса расчета оценки опциона будет оценка портфеля для I = О, составленного из К исходных активов и В безрисковых ценных бумаг. Если полученное значение К < О, то это означает продажу активов и ссужение денег. Если В < О, то это означает продажу безрисковой облигации или получение ссуды по безрисковой процентной ставке.

Цена колл (оценка опциона) = Текущая цена актива х R — Привлечение денежных средств для покупки активов = S х R — В.

Например, рассмотрим колл-опцион с ценой исполнения 50 долл. и сроком опциона два года. Текущая цена акции — 50 долл. Дивиденды не выплачиваются, и исполнить опцион можно только в конце второго года (рассматривается европейский опцион).

Известны следующие значения цены акции по двум годам:

Для каждого года построим портфель, комбинируя Rt акций и привлекая Bt денежных средств для получения такого же денежного потока, какой генерирует опцион колл с ценой исполнения 50 долл. Итеративный процесс начинается с последнего года до исполнения опциона и доходит до года t = 1.

Построим портфель года t = 2, если цена акции поднимется до 70 долл. Денежные потоки по колл-опциону имеют вид:

Оценка колл совпадает с оценкой портфеля при равенстве денежных потоков:

100 х R2 1 – (1+kf) xB2 1 = 50,

50 x R21 – (1+kf) x B21 = 0

При kf = 11% решение системы уравнений относительно R21 и B21 дает следующие значения: R21 = 1, B21 = 45. Если цена акции в году t = 1 равна 70 долл., то при займе 45 долл. и покупке одной акции инвестор получит такой же денежный поток, что и при покупке опциона колл. Цена колл на момент t = 1, если цена акции 70 долл., равна 70 х R21 - В21 = 25 долл.

Если в момент t = 1 цена акции равна 35 долл., денежные потоки по опциону имеют вид:

находим, что для построения портфеля с таким же потоком, что и колл-опцион, нужно купить 0,71 акции и занять 22,5 долл. Оценка колл равна 0,71 х 50 - 22,5 = 13,2. Таким образом, в колл-опционе с ценой исполнения 50 долл. и сроком два года при рассмотренных допущениях о возможных ценах акции цена опциона равна 13,2 долл.

Модель Блэка — Шоулса

Биномиальная модель строится на весьма жестких предпосылках: известны дискретные значения будущей цены акции; известны вероятностные распределения движения цены. Модель Блэка — Шоулса является частным случаем биномиальной модели. Ее построение основывается на следующих предпосылках:

1) в качестве временного интервала между различными моментами по биномиальной модели рассматривается изменение цены акции;

2) цена акции меняется постоянно и временные интервалы в модели очень короткие (t → 0);

3) изменение цены актива является случайным процессом. Теоретически при очень коротких временных интервалах цены акции во времени а) изменяются очень слабо и изменение цены может быть описано непрерывным нормальным распределением, б) изменяются очень сильно, имеют место скачки цен, и вероятностное распределение должно характеризоваться как пуассоновское. Модель Блэка — Шоулса исходит из слабых колебаний цены и возможности использования нормального распределения;

4) нормальное распределение допускает отрицательные значения результата (кривая нормального распределения симметрична относительно центральной оси и имеет положительные и отрицательные области (см. гл. 3), что не соответствует случаю акции, цена которой не может опуститься ниже нуля (ответственность акционеров ограничена). Более того, нормальное распределение предполагает равную вероятность подъема и снижения цены, хотя в реальной жизни инфляция приводит к большему изменению цены в сторону повышения. Таким образом, принято вводить в модель распределение натурального логарифма цен акции. Кривая логнормального распределения всегда положительна и имеет правостороннюю скошенность (вероятность повышения цены);

5) отсутствуют дивидендные выплаты;

6) опцион может быть исполнен только в фиксированный момент времени (европейский опцион);

7) факторами, определяющими цену опциона, являются: а) текущая цена акции S,

б) цена исполнения К, в) срок действия опциона (время до момента исполнения опциона) t, г) безрисковая доходность, соответствующая сроку действия опциона (если срок действия опциона два года, то и kf отражает годовую процентную ставку безрискового инвестирования на два года), безрисковая доходность постоянна, д) степень изменчивости натурального логарифма цены акции (дисперсия σ 2). Дисперсия рассчитывается за прошедший период времени, как правило, сопоставимый со сроком действия опциона (если рассматривается годовой опцион, то дисперсия рассчитывается по изменениям цены акции за год, если опцион трехмесячный, то достаточно рассмотреть изменение за последние три месяца). В качестве случайной величины для расчета дисперсии берется значение l п (Pt+1/Pt);

8) нейтральность по отношению к риску;

9) отсутствуют трансакционные издержки и несовершенства рынка.

Модель определяет равновесную цену колл, которая не позволяет получать арбитражный доход. Если в какой-то момент действительная цена опциона отличается от оценки по модели, то инвестор имеет возможность сформировать портфель путем продажи колл-опционов и покупки акций и без риска получить доходность, превышающую процентную ставку. Рост таких сделок приведет к выравниванию модельной оценки и действительной цены.

Модель Блэка — Шоулса:

где — текущая оценка (РV) цены исполнения при непрерывном дисконтировании (см. Приложение 1); kf — ставка процента (безрисковая доходность); t — срок действия опциона, т.е. число лет между сегодняшним моментом и моментом исполнения опциона; е — основание логарифма, е = 2,71828;

N(d) — вероятность того, что при нормальном распределении со средней, равной нулю, и стандартном отклонении, равном единице, результат будет меньше d (см. параграф 3.2 и табл. 6 Приложения 2 "Таблица накопленного нормального распределения N(X)", иногда называемую "Таблица интегральной функции плотности нормального распределения").

Идея модели Блэка — Шоулса также сводится к формированию портфеля путем покупки акций и привлечения денежных средств. Аналогом покупки колл-опциона рассматривается следующее формирование портфеля:

Например, рассмотрим корпорацию "Вепатор", имеющую на конец 1996 г. 3 млн. варрантов сроком на 5 лет (до 2001 г.). Цена исполнения 80 долл. Текущая цена акции 60 долл. Пятилетние государственные облигации в текущий момент обеспечивают доходность 10% годовых. Дисперсия по годовым колебаниям цен акций данной корпорации равна 0,14. Подставив исходные данные в модель, получаем:

1) d1 = [In (60/80) + (0,1 + 0,14/2) х 5] / (0,14 х 5)1/2 = 0,562 / 0,836 = 0,672, d2 = d1 - (0,14 х 5)|/2 = 0,672 - 0,836 = -0,164.

По таблице накопленного нормального распределения N(X) для Х > 0 (табл. 6 Приложения 2) находим N(d1) = N(0,672) = 0,749, N (d2) = N(-0,164) = 0,435; 2) 60 х 0,749 - (0,435 х 80)/ е 0,1 x 5 = Цена варранта = 44,94 -34,8/1,6487 = 23,84.