Общие сведения. Физические основы эксперимента. Момент инерции тела – это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении

Момент инерции тела – это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении. Для точечного тела массой , вращающегося по окружности радиусом , момент инерции определяется формулой:

. (1)

В соответствие с этим для тела с бесконечно малой массой :

. (2)

Момент инерции любого тела можно рассчитать, используя выражение (2). Для этого тело «разбивают» на микрообъемы с массами . Считая каждый из таких микрообъемов точечным телом, находят момент инерции каждого из них по формуле (2) и все суммируют:

(3)

Реализуя изложенную методику расчета, можно найти формулы моментов инерции различных тел (см., например, [1], §39, или [2] §16). Например, если ось вращения является осью симметрии и проходит через центр масс тела, то:

для цилиндра ,

для стержня ,

для шара ,

где – масса тела, - длина стержня, – радиус цилиндра или шара.

Если ось вращения не проходит через центр масс тела, то операция (3) позволяет получить выражение, которое называют теоремой Штейнера:

, (4)

где – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения;

– момент инерции этого же тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной;

– расстояние между осями.

В данной лабораторной работе два одинаковых тела, момент инерции которых измеряют, помещают симметрично на пластине 3 (см. рисунке 2.1 на стр.18) крутильно-баллистического маятника. В процессе колебаний пластины выполняется закон сохранения энергии: максимальная кинетическая энергия маятника , которую он имеет в момент прохождения положения равновесия, равна максимальной потенциальной в положении наибольшего отклонения:

(5)

Если представить физические выражения для кинетической энергии вращающегося тела и потенциальной энергии упруго деформированной кручением проволоки (оси маятника), то выражение (5) примет вид:

, (6)

где - момент инерции маятника;

- максимальная угловая скорость маятника (при прохождении им положения равновесия);

- коэффициент упругости проволоки при кручении;

- максимальный угол поворота маятника.

Допустим, что колебания маятника совершаются по гармоническому закону:

, (7)

где - угол поворота в момент времени ,

- период колебаний.

Из этого выражения дифференцированием можно найти закон изменения угловой скорости маятника:

.

Отсюда следует, что максимальное значение угловой скорости при равно:

. (8)

Подставим найденное выражение (8) в (6) и после алгебраических преобразований получим:

. (9)

Это выражение используется для экспериментального определения моментов инерции тел в данной лабораторной работе.