Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек.

В общем случае в некоторой инерциальной системе отсчета каждая материальная i-ая точка обладает некоторым импульсом p _i. Пусть материальные точки взаимодействуют между собой и кроме внутренних сил взаимодействия f _ik на i-ую точку действуют какие-то внешние силы, равнодействующую которых мы обозначим через F _i. Внешними силами называются силы со стороны тел, не включенных в рассматриваемую систему.

Запишем для каждой точки второй закон Ньютона в виде (12.2).

(18.1)

Сложим левые и правые части этих уравнений. Сумма всех внутренних сил равна нулю, так как по третьему закону Ньютона f _ik= – f _ki. Поэтому:

или . (18.2)

В этом выражении – импульс системы материальных точек (см.12.3), а - сумма всех внешних сил, действующих на рассматриваемую систему.

Систему, на которую не действуют внешние силы F _i, называют замкнутой системой. Поэтому, если система замкнута, то из (18.2) следует, что

и, следовательно, . (18.3)

Векторная сумма импульсов материальных точек замкнутой системы есть величина постоянная.

Это утверждение и представляет собой закон сохранения импульсов.

Замкнутые системы встречаются крайне редко, однако закон сохранения импульса можно применять в следующих случаях.

а) Если внутренние силы много больше внешних (), то внешними силами в выражениях (18.1) можно пренебречь, и в этом случае . Это случаи разрыва снарядов, взаимодействия элементарных частиц и др..

б) Если внешние силы соизмеримы с внутренними, то импульс системы не сохраняется. Однако, если удается выбрать систему координат таким образом, что на одну из координатных осей (например, X) все проекции внешних сил равны нулю, то проекция импульса системы на эту ось сохраняется (P_x = const).

Если внешними силами нельзя пренебречь, и они направлены в разные стороны, то, как следует из (18.2) изменение импульса системы равно: . Проинтегрировав обе части этого равенства, получим: .

В этом выражении:

D Р – изменение импульса системы за время действия t всех внешних сил ;

á F ñ – среднее значение результирующей всех внешних сил за время t.

Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы.

Таким образом, окончательный результат можно сформулировать следующим образом. Изменение импульса системы материальных точек равно результирующему импульсу внешних сил.

Импульс материальной точки, а, соответственно, и импульс системы точек зависит от того, в какой системе отсчета мы рассматриваем данное движение.

Допустим, что нам известны импульсы всех точек в инерциальной системе отсчета, в которой наши измерительные приборы неподвижны. Назовем эту систему отсчета лабораторной (л-система).

В общем случае в этой системе отсчета импульс системы n материальных точек не равен нулю ().

Однако можно выбрать такую систему отсчета, в которой импульс этой же системы материальных точек будет равен нулю.

. (18.4)

Такая система отсчета называется системой центра масс или Ц-системой. Динамические и кинематические параметры в Ц-системе мы будем снабжать знаком ~ (тильда).

Любая пространственная система отсчета должна быть связана с некоторым телом, относительно которого выбирается начало отсчета. Относительно него выбираются также и оси координат.

Если речь идет о системе материальных точек, положение которых произвольно меняется со временем, то с такой системой точек не может быть связана система отсчета. В этом случае Ц-систему мы должны привязать к л-системе и определить:

– начало отсчета Ц-системы – точки С;

– ее линейные кинематические параметры: положение в лабораторной системе отсчета R _C, скорость V _C и ускорение w _C;

– угловую скорость возможного вращения Ц-системы w.

 

Обратимся к рис.18.1, на котором обозначены:

– декартовая система координат XYZ л-системы;

– декартовая система координат Ц-системы;

r _i – положение i-ой материальной точки m_i в л-системе;

– положение i-ой материальной точки m_i в Ц-системе;

R _С – положение точки С в л-системе;

Тогда, r _i = + R _С. Продифференцировав это выражение, получим, что скорость v _i i-ой материальной точки в л-системе отсчета связана со скоростью этой же точки в Ц-системе преобразованиями (9.7):

v _i = + w ´ +V _C.

При дифференцировании мы учли, что Ц-система в общем случае может быть неинерциальной.

Следовательно, импульс системы материальных точек в лабораторной системе будет равен:

+ w ´ + w ´ . (*)

 

Требование (18.4) выполняется, если второе слагаемое в (*) будет равно нулю , а .

Тогда из первого условия мы можем определить положение начала отсчета Ц-системы:

. (18.5)

Продифференцировав (18.5) по времени, получим выражение для скорости V _C начала отсчета Ц-системы:

, (18.6)

где М и Р – масса и импульс системы материальных точек.

Тогда из (18.6) автоматически выполняется и второе условие.

Продифференцировав (18.6) по времени, получим выражение для ускорения начала отсчета Ц-системы:

. (18.7)

 

Физический смысл вектора R _c становится ясным, если предположить, что все массы m_i равны между собой. Тогда:

.

В этом случае вектор R _c представляет собой среднее арифметическое значение всех векторов r _i. В случае однородного твердого тела правильной формы R _c определяет его геометрический центр.

Точка, положение которой определяется выражением (18.5), называется центром масс системы материальных точек, отсюда и пошло название Ц-системы.

Очевидно, что в Ц-системе положение центра масс равно нулю.

.

Система координат в Ц-системе выбирается произвольно и при этом допускается вращение Ц-системы относительно инерциальной л-системы.

Однако для упрощения решения задач чаще всего полагают, что угловая скорость Ц-системы равна нулю, то есть она движется поступательно, а оси координат Ц-системы параллельны осям л-системы.

Если мы рассматриваем систему материальных точек, положение которых относительно друг друга не меняется, т.е. поведение твердого тела, то тут появляется возможность связать Ц-систему с самим телом и в этом случае необходимо учитывать влияние не только поступательных, но и центробежных сил инерции.

Из закона сохранения импульса (18.3) и (18.6) следует, что скорость V _c центра масс для замкнутой системы остается постоянной. Рассмотрение явлений в системе центра масс часто существенно облегчает решение многих задач.