Потенциальная энергия взаимодействующих частиц

Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц. Обозначим силу, с которой вторая частица действует на первую, символом F ₁₂, а силу, с которой первая частица действует на вторую, символом F ₂₁ (см. рис. 14.1). По третьему закону Ньютона F ₁₂ = –F ₂₁. Эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей частицы. Поэтому силу F ₁₂ можно представить в виде: F ₁₂ = F₁₂ e ₁₂.

В некоторой инерциальной системе отсчета положение первой частицы определяется радиус-вектором r ₁, а второй – r ₂.

При элементарном смещении частиц от заданного положения силы взаимодействия совершат работу dA, равную:

F ₁₂d r ₁ + F ₂₁d r ₂ = F ₁₂(d r ₁ – d r ₂) = –F ₁₂d(r ₂ – r ₁) = – F ₁₂d r ₁₂ =–F₁₂dr₁₂

Следовательно, dA = –F₁₂dr₁₂ = –dU_вз

Выражение F₁₂dr₁₂ можно рассматривать как приращение некоторой функции U_вз(r). Эта функция и представляет собой потенциальную энергию взаимодействия, которая зависит только от взаимного расположения частиц. Вид этой функции можно найти, зная силу F₁₂ взаимодействия частиц. Тогда (U_вз)₂ – (U_вз)₁ = – .

Распространим полученный результат на систему, состоящую из N частиц.

Для системы, состоящей N из частиц, потенциальная энергия взаимодействия слагается из потенциальных энергий частиц, взятых попарно: U_вз= .

В этом выражении первое слагаемое – сумма потенциальных энергий взаимодействия первой частицы с остальными, второе слагаемое – сумма потенциальных энергий взаимодействия второй частицы с остальными, кроме первой, третье слагаемое – сумма потенциальных энергий взаимодействия третьей частицы с остальными, кроме первой и второй и т.д. Так как (U_ik) = (U_ki), энергию взаимодействия можно представить в виде: . (14.1)

В этой сумме индексы i и k пробегают значения от 1 до N, причем i¹k. Коэффициент 1/2 связан с тем, что энергия каждой пары учитывается дважды, как (U_ik) и как (U_ki).

Пример

Вычислить потенциальную энергию взаимодействия трех зарядов q₁, q₂ и q₃, которые расположены в вершинах правильного треугольника со стороной а.