Потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле

Введем понятие силового поля.

Если в каждой точке данного пространства известны величина направление силы, действующей на рассматриваемую частицу, то говорят, что в этом пространстве задано поле сил или силовое поле.

Мы ограничимся рассмотрением полей сил, не зависящих от времени, т.е. стационарных полей.

Например, в каждой точке пространства данной аудитории на частицу массой m действует сила гравитации со стороны Земли, равная mg и направленная к центру Земли. Можно сказать, что в данной аудитории действует гравитационное поле сил.

Другой пример: при движении материальной точки по поверхности стола на нее со стороны поверхности действует сила трения, равная μN и направленная противоположно скорости ее движения. Говорят, что на поверхности стола действует поле сил трения.

Вводя понятие работы, мы говорим, что действие силы на каком-либо участке характеризуется работой, т.е. сила совершает работу на данном участке. Например, при движении тела из точки 1 в точку 2 по поверхности стола силы трения будут совершать работу. Очевидно, что работа сил трения будет зависеть от того, по какому пути будет двигаться тело из точки 1 в точку 2. Чем длиннее путь, пройденный телом, тем больше работа сил трения, хотя при этом отправная и конечные точки пути одни и те же.

Однако, можно выделить класс сил, которые обладают замечательным свойством – работа, совершаемая силой при перемещении частицы из точки 1 в точку 2, не зависит от формы пути, по которому частица перемещается из т.1 в т.2 (рис. 13.1).

Это означает, что ,

где - работа при перемещении частицы из 1 в 2 по траектории 1-а-2;

- работа при перемещении частицы из 1 в 2 по траектории 1-b-2.

Такие силы называются консервативными. Если такое свойство сохраняется и для силовых полей, меняющихся со временем (не стационарных полей), то такие силы называются потенциальными. Консервативные силы – это частный случай потенциальных сил.

Изменение направления движения частицы на противоположное вызывает изменение знака работы консервативной силы, так как меняет свой знак. Поэтому, при перемещении частицы по любому замкнутому контуру L, например, 1-а-2-b-1, работа консервативной силы тождественно равна 0. Это обстоятельство позволяет записать условие консервативности сил в следующей математической форме:

. (13.4)

Кружок на знаке интеграла означает суммирование по замкнутому контуру. Тождество (13.4) является необходимым условием консервативности сил F _кон. Условие (13.4) не может быть достаточным условием консервативности сил данного поля. Для этого нужно доказать, что это условие выполняется для любого замкнутого контура. Как это сделать, мы узнаем позже, когда познакомимся с понятием ротора векторной функции.

К неконсервативным силам относятся диссипативные (силы трения) и гироскопические силы, с которыми мы познакомимся попозже.

Введем понятие потенциальной энергии. Допустим, что на частицу в пространстве действуют консервативные силы. В этом случае говорят, что задано потенциальное поле сил. Из определения консервативных сил ясно, что работа, совершаемая силами потенциального поля над частицей, зависит только от взаимного расположения начальной 1 и конечной 2 точек пути. Это означает, что работу в этом случае можно выразить в виде:

, (13.5)

где - некоторые значения функции состояния частицы, зависящие только от ее координат. Эту функцию и называют потенциальной энергией.

Из соотношения (13.5) следует, что работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной энергии частицы:

. (13.6)

Выражение (13.5) позволяет найти зависимость потенциальной энергии частиц от координат только с точностью до постоянного слагаемого С, не влияющего величину разности . Поэтому в каждой конкретной задаче для получения однозначной зависимости U_пот от координат выбирают точку, для которой потенциальную энергию частицы (или системы) условно считают равной нулю.

Используя выражение (13.5), можно дать определение потенциальной энергии. Потенциальная энергия системы в произвольном состоянии равна работе, которую должны совершить потенциальные силы при переводе системы из этого состояния в состояние, где U_п2 равна нулю.

В качестве примера рассмотрим однородное силовое поле и поле центральных сил.

а) Однородное поле.

Если во всех точках рассматриваемого пространства силы поля равны и по величине и по направлению, то такое поле называется однородным.

Работа, совершаемая постоянной силой F, равна (11.4):

.

Очевидно, что эта работа не зависит от формы траектории, а зависит только от начального и конечного положения точек движения r ₁ и r ₂. Следовательно, однородное силовое поле потенциально.

Например, гравитационное поле вблизи поверхности Земли в пределах небольшой области (Dr<<R_Земли) можно считать однородным: F =m g = const. Тогда работа сил тяжести будет равна: А = m g× (r ₂ – r ₁) = m g× D r = mg × Dr×cos(g, D r) = mg × (h₂ – h₁) = –DU_пот.

Итак, работа сил тяжести будет равна: А = –(U_кон – U_нач).

Следовательно, потенциальная энергия в однородном поле сил тяжести равна:

U(h) = mgh + C. (13.8)

Константу С удобнее всего выбрать равной нулю. Это означает, что на высоте h равной нулю потенциальная энергия U(0) будет считаться тоже равной нулю. Начало отсчета высоты h выбирается произвольно из соображений удобства решения задачи. Таким образом, потенциальная энергия материальной точки, поднятой на высоту h, возрастает на величину mgh.

б) Поле центральных сил

Аналогичным образом вычисляется потенциальная энергия для различных потенциальных полей: сначала доказывается, что данное поле сил потенциально и затем вычисляется работа этих сил при переходе системы из начального положения в конечное, причем по наиболее удобной траектории. Подобным образом получают выражение для потенциальной энергии данного поля.

Рассмотрим поле центральных сил. Если все силы данного поля направлены к одной точке (или от нее), а их величина зависит только от расстояния до этой точки, называемой силовым центром, то такое поле называется центральным полем сил. Это определение можно записать в математической форме:

F =f(r) e _r, (13.9)

где e _r – единичный вектор, задающий направление радиус-вектора точки поля относительно силового центра, т.е. r = r e _r. Элементарная работа такой силы будет равна dА = f(r)× e _r×d r. С учетом соотношения (2.6) произведение e _r×d r равно: . Следовательно, dА = f(r)×dr. Работа этой силы на произвольном пути от точки 1 до точки 2 равна:

. (13.10)

Полученное выражение зависит только от вида функции f(r) и от значений r₁ и r₂, и никак не зависит от формы траектории движения и поэтому является потенциальным.

Рассмотрим гравитационное взаимодействие двух материальных точек М и т. По закону всемирного тяготения сила взаимодействия по модулю равна: . Если рассматривать силу, действующую на точку т, то можно сказать, что гравитационное силовое поле, создаваемое материальной точкой М, действует на точку т с силой F.

Другими словами, материальная точка М создает поле центральных сил с силовым центром в точке М.

Поместим начало отсчета в точку М.

Тогда в векторном виде сила гравитации, действующая на точку т, примет следующий вид:

. (13.11)

При перемещении точки т из r ₁ в точку r ₂ силы гравитации совершат работу:

. (13.12)

Сравнивая полученное выражение с (13.6), получим, что потенциальная энергия частицы т в гравитационном поле точки М равна:

. (13.13)

При большом удалении точек друг от друга (), сила их гравитационного взаимодействия стремится к нулю, и, следовательно, должна стремиться к нулю и потенциальная энергия. Поэтому в данном случае константу С можно положить равной нулю.

Выражение (13.13) является точным для расчета потенциальной энергии частицы т в гравитационном поле точки М. Выражение (13.8) является приближенным расчетным соотношением для вычисления потенциальной энергии частицы в гравитационном поле. Покажем это.

Можно доказать, что тело сферической формы массой М создает вне себя точно такое же гравитационное поле, как материальная точка такой же массы, помещенная в центр шара. Следовательно, при поднятии тела массой т с поверхности, например, Земли на высоту h ее потенциальная энергия меняется на величину

. (13.14)

Если h<<R_Земли, то это выражение переходит в (13.8).

Таким образом, если все перемещения происходят вблизи поверхности Земли, то можно пользоваться выражением (13.8), если нет – то надо использовать более точное выражение (13.14).

Если в силовом потенциальном поле находится система невзаимодействующих между собою материальных точек, то потенциальная энергия такой системы в этом силовом поле будет равна сумме потенциальных энергий каждой точки в отдельности: U_сист = SU_i

Если частицы системы взаимодействуют между собой, то для того чтобы найти потенциальную энергию всей системы, нужно к потенциальной энергии частиц во внешнем силовом поле добавить потенциальную энергию их взаимодействия.