С помощью функций распределения

Рассмотрим результат наблюдений Х за постоянной физической величиной Q как случайную величину, принимающую различные значения Z, в различных наблюдениях за ней. Значения X_i будем называть результатами отдельных наблюдений.

Из теории вероятности следует, что наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения X_i в i -м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения х, от самой величины х:

.

Здесь и в дальнейшем большие буквы используются для обозначения случайных величин, а маленькие – значений, принимаемых случайными величинами. Поскольку функция распределения вероятности представляет собой вероятность, то она удовлетворяет следующим свойствам:

– при ,

– , , т.е. расположена в диапазоне от 0 до 1,

– – неубывающая функция x, т.е. , если

– – вероятность нахождения случайной величины x в диапазоне от x₁ до x₂.

На рисунке 3 показан пример функции распределения вероятности.

Рис. 3

 

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:

.

Физический смысл p(x) состоит в том, что произведение f(x)dx представляет вероятность попадания случайной величины Х в интервал от х до х + δx, т.е.

.

Свойства плотности распределения вероятности:

– вероятность достоверного события равна 1; иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице.

– вероятность попадания случайной величины в интервал от x₁ до x₂ и равна площади под кривой p(x) между абсциссами x₁ и x₂ (рис.4).

Рис. 4

 

От дифференциальной функции распределения легко перейти к интегральной путем интегрирования:

.

Суммарная погрешность складывается из нескольких составляющих с различными плотностями распределения P₁(x),P₂(x)…P_n(x). Поэтому возникает задача определения закона распределения погрешности. Для суммы непрерывных случайных величин X₁ и X₂, имеющих распределения P₁(x₁) и P₂(x₂) этот закон называется композицией и определяют интегралом свёртки (рис.5):

.

Рис. 5

 

Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейшие математики – Муавр, Лаплас, Гаусс, Чебышев и Ляпунов. Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко в нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.