Устойчивость линейных систем автоматического управления

Основное условие нормального функционирования системы автоматического управления состоит в требовании устойчивости ее переходных процессов. Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный установившийся режим после выхода из него в результате какого-либо воздействия.

Рассмотрим, от чего зависит устойчивость линейной системы n -го порядка, уравнение движения которой имеет вид:

, (2.1)

где – входной и выходной сигналы системы соответственно;

– постоянные величины.

Уравнению (2.1) соответствует передаточная функция

. (2.2)

Уравнение, полученное путем приравнивания к нулю выражения в знаменателе передаточной функции (2.2), носит название характеристического уравнения системы:

. (2.3)

Именно корни характеристического уравнения определяют устойчивость линейной системы в целом. В общем случае они являются комплексными, образуя сопряженные пары

,

где – действительная часть корня;

– мнимая часть корня;

k – порядковый номер корня.

Переходный процесс в рассматриваемой системе может состоять из колебательных и апериодических составляющих. Каждая колебательная составляющая обязана своим появлением паре комплексных сопряженных корней, а каждая апериодическая – действительному корню.

Независимо от типа корней необходимым и достаточным условиемустойчивости линейной системы является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы.

Необходимым условием устойчивости линейной системы является строгая положительность коэффициентов характеристического уравнения (при условии, что коэффициент , чего всегда можно добиться умножением уравнения на ). Если хотя бы один из коэффициентов характеристического уравнения будет отрицателен или равен нулю, система однозначно будет являться неустойчивой. Однако положительность всех коэффициентов характеристического уравнения еще не гарантирует устойчивости этой системы. Необходимое условие устойчивости является и достаточным условием только для систем 1-го и 2-го порядков. Уже для систем 3-го порядка оно недостаточно.

Для суждения об устойчивости системы нет необходимости каждый раз находить корни ее характеристического уравнения. Разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней, а тем самым и об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти признаки называют критериями устойчивости.

Существуют три основных критерия устойчивости: алгебраический критерий Рауса–Гурвица и частотные критерии Найквиста и Михайлова.

2.1 Критерий устойчивости Рауса–Гурвица

По критерию Рауса–Гурвица условия устойчивости линейной системы сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты характеристического уравнения (2.3) рассматриваемой системы -го порядка. Для этого строится матрица Гурвица, содержащая строк и столбцов:

. (2.4)

В первый столбец матрицы вписываются все нечетные коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a ₁, после чего столбец заполняется нулями до положенного числа n элементов. Затем каждая строка матрицы дописывается последовательно коэффициентами с убывающими номерами вплоть до , после чего оставшиеся элементы вновь заполняются нулями.

Критерий устойчивости Рауса–Гурвица формулируется следующим образом: для того чтобы рассматриваемая система n-го порядка являлась устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы диагональные миноры матрицы Гурвица до -го порядка включительно были строго положительны.