Временные характеристики системы

 

К временным характеристикам систем автоматического управления относятся переходная функция и импульсная характеристика.

Переходной функцией системы называют ее отклик на входное воздействие в виде единичной ступенчатой функции при условии, что на момент поступления воздействия система находилась в покое (что соответствует нулевым начальным условиям).

Единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда, или функция включения) представляет собой воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до единицы и далее остается неизменным (рисунок 1.10).

 

 

Рисунок 1.10 – Единичная ступенчатая функция

 

Функция включения может быть описана равенством

Таким образом, для переходной функции справедливо следующее соотношение:

при

Выражение, связывающее изображение переходной функции и передаточную функцию системы имеет вид:

. (1.17)

Используя выражение (1.17) и осуществив переход к оригиналу, можно определить переходную функцию системы с заданной передаточной функцией.

Импульсной характеристикой системы называют ее отклик на входное воздействие в виде дельта-функции при условии, что на момент поступления воздействия система находилась в покое.

Дельта-функция – это математическая идеализация предельно короткого импульсного сигнала. Иными словами, это импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности, площадь которого равна единице. Дельта-функция определяется следующими соотношениями:

.

Дельта-функция просто связана с единичной ступенчатой функцией:

. (1.18)

На графике дельта-функцию условно изображают в виде утолщения на оси ординат (рисунок 1.11).

 

Рисунок 1.11 – Дельта-функция

 

Для импульсной характеристики справедливо следующее соотношение:

при .

Выражение, связывающее изображение импульсной характеристики и передаточную функцию системы , имеет вид:

. (1.19)

Согласно формуле (1.18) переходная и импульсная функции связаны соотношением

. (1.20)

Пример 9. Найти переходную функцию системы, передаточная функция которой имеет вид

.

Согласно выражению (1.17) изображение искомой функции определяется выражением

.

Выполнив обратное преобразование Лапласа (например, с помощью таблицы 1), получим выражение для переходной функции системы:

.

Пример 10. Найти импульсную характеристику системы, передаточная функция которой имеет вид

.

Согласно выражению (1.19) изображение искомой функции определяется выражением

.

Выполнив обратное преобразование Лапласа, получим выражение для импульсной характеристики системы:

.

Решение возможно и при использовании выражения (1.20) и результата примера 9:

.