Производная логарифмической функции

Теорема. Производная от функции равна т.е. если то

Доказательство. Если ∆y есть приращение функции соответствующее приращению ∆x аргумента x, то

Умножим и разделим на x выражение, стоящее в правой части последнего равенства:

Обозначим величину через .Очевидно, при ∆x→0 и данном x. Следовательно,

Но, как известно

Если же выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к числу e, то логарифм этого выражения стремится к Поэтому окончательно получаем

Заметив, что полученную формулу можно переписать так:

Отметим важный частный случай этой формулы: если

т.е. если то

§7. Производные функций y=tgx, y=ctgx.

Теорема 1. Производная от функции tgx равна т.е. если то

Доказательство. Так как

то по правилу дифференцирования дроби получаем

Теорема 2. Производная от функции ctgx равна т.е. если y=ctgx, то

Доказательство. Так как то