Экстремум функции. Возрастание и убывание функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и непрерывна в точке .

Пусть называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая окрестность точки , в которой при выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие точки экстремума:

В точках экстремума производная или не существует.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Достаточные условия экстремума:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки .

а) Если при и при (т.е. при переходе через точку производная меняет

знак “+” на “–“), то точка является точкой максимума.

б) Если при и при (т.е. при переходе через точку производная меняет знак “–” на “+“), то точка является точкой минимума.

Пусть в критической точке функция f(x) имеет вторую производную (значит, ). Если при этом , то – точка максимума; если же то – точка минимума; если же , то вопрос о наличии экстремума в этой точке остается открытым.

Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b], если для любых и x на этом отрезке , когда x < x .

Аналогично определяется убывание функции на отрезке.

Достаточные признаки возрастания и убывания функции y=f(x):

если , то функция возрастает;

если , то функция убывает.

Чтобы найти экстремум функции нужно:

Найти и критические точки, в которых или не существует.

Определить знак слева и справа от каждой критической точки.

Далее можно найти и и построить кривую.