Функциональное отношение. Функции

Определение 39. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a, b) f и (a, c) f b = c.

 

A

B A B

 

функциональное отношение, не является функцион. отношением

но не функция

Определение 40. Функциональное отношение f между множествами A и B называется функцией или отображением A в B, если Dom f = A,и обозначается
f: A B или A B.

 

 

A f

Функция и

функциональное отношение

B

Замечание. Если f: A B – функция, то каждому элементу a A соответствует единственный элемент b B и записывается f (a)= b (a, b) f a f b.

Определение 41. Пусть f: A B функция, a A, b B. Если f (a)= b, то b называется образом элемента a при отображении f; элемент a называется прообразом элемента b при отображении f.

 

A

f

B

 

Определение 42. Пусть дана функция f: A B, A ₀ A. Множество f (A ₀)={ f (a)| a A ₀} называется образом множества A ₀ при отображении f.

A B

f

 

f (A ₀)

Определение 43. Пусть f: A B функция, b B.
Множество f ^-1(b)={ a A | f (a)= b } называется полным прообразом элемента b при отображении f.

A

B

a_1, a₂ – прообразы b.

{ a ₁, a ₂} – полный прообраз при отображении f.

Определение 44. Пусть f: A B функция, B ₀ B.
Множество f ^-1(B ₀)= называется полным прообразом множества B ₀ при отображении f.

Отметим, что f ^-1(B)= A, f (A) B.

Определение 45. Отображение f: X Y называется инъективным (или взаимно-однозначным отображением X в Y), если x _1, x ₂ X из x ₁ x ₂ f (x ₁) f (x ₂). «разным соответствуют разные»

Замечание. На практике при проверке свойства инъективности используют другую формулировку.

Определение 46. Отображение f: X Y называется инъективным, если x ₁, x ₂ X из f(x ₁)= f (x ₂) x ₁= x ₂. «если образы равны, то и прообразы равны»

Определение 47. Отображение f: X Y называется сюръективным (или отображением X на Y), если Im f совпадает с Y (Im f = Y), т. е.
y Y x X т. что f (x) = y. «для всякого образа найдётся прообраз»

Определение 48. Отображение f: X Y называется биективным (взаимно-однозначным отображением X на Y), если f инъективно и сюръективно.

Биективное отображение называется биекцией, инъективное – инъекцией, сюръективное – сюръекцией.

A f B

не является инъекцией

 

 

 

f B

A инъекция, не сюръекция

 

 

 

A B

f

сюръекция, инъекция

биекция