Понятие множества. Подмножества. Равенство множеств. Операции над множествами. Свойства операций над множествами

Понятие множества является первичным, исходным и не определяется через

другие более простые понятия. Под множеством понимают совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое.

Например: множество книг, составляющих данную библиотеку; множество философских учений.

Объекты из которых состоит множество, называются его элементами. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а его элементы - малыми. Для того, чтобы показать, что какой-либо объект является элементом того или иного множества, вводится понятие принадлежности.

Î - знак принадлежности;

а Î А – читается «а принадлежит множеству А»;

а Ï А – читается «а не принадлежит множеству А».

Для наиболее важных числовых множеств используют фиксированные обозначения:

ℕ - множество всех натуральных чисел;

ℤ - множество всех целых чисел;

ℚ - множество всех рациональных чисел;

ℝ - множество всех действительных чисел.

Множество считается заданным, если по любому объекту можно судить, является ли он элементом данного множества или нет.

Основные способы задания множества:

1. С помощью перечисления элементов.

Если множество А состоит из элементов а₁,а₂,…,а_n, то записывают:

А ={ а₁,а₂,…,а_n }.

Например, М = {-1, 3, y }, ℕ = {1, 2, 3, …}- множество всех натуральных чисел

 

2. Указание характеристического свойства элементов.

А ={x|…} (читается «множество А состоит из элементов х таких, что …).

Например, множество всех рациональных чисел ℚ = m Î ℤ, n Î ℕ }

Определение 1. Множества А и В называют равными, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В и каждый элемент множества В принадлежит множеству А то есть: : и : . И обозначается А = В.

Другими словами, множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, А ={1,2,3}, В ={1,2,1,3}. Тогда А=В.

Если множества А и В не равны, то записывают А¹В.

Определение 2. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В и обозначается А Í В.

Иными словами, А В, если : .

Í - знак включения.

АÍВ – читается «А содержится в В», «А включается в В».

Определение 3. Если А Í В и А¹В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А Ì В.

 

Для доказательства равенства множеств А и В, согласно определению 1 и определению 2, используют метод встречных включений, который заключается в том, что из А В и В А следует, что А=В.

 

Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ.

Пустое множество единственно. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами.

Над множествами вводятся три основные операции:

- пересечение - Ç;

- объединение - È;

- разность - \.

Определение 5. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В одновременно и обозначается АÇВ, т.е. АÇВ={x| xÎА и xÎВ}.

Операции над множествами удобно пояснять на диаграммах Эйлера-Венна.

xÎ АÇВ<=> xÎА и xÎВ

xÏ АÇВ<=> xÏА или xÏB

 

 

АÇВ

Определение 6. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В, и обозначается: АÈВ, т.е. АÈВ={x| xÎА или xÎВ}.

xÎ АÈВ<=> xÎА или xÎВ

xÏ АÈВ<=> xÏА и xÏB

Замечание. Если элемент х принадлежит множеству А, то он принадлежит объединению множества А с любым другим множеством.

Определение 7. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В, и обозначается: А\В, т.е. А\В={x| xÎА и xÏВ}.

А\В

 

Определение 8. Если А Í В, то разность В\A называется дополнением к множеству А во множестве В.

 

 

Определение 9. Универсальным множеством называется множество, содержащие все рассматриваемые нами множества (в процессе какого-либо рассуждения) в качестве своих подмножеств и обозначается U.

На диаграмме Эйлера- Венна универсальное множество обычно изображают прямоугольником.

 

 

Определение 10. Дополнением множества А называется разность U\A и обозначается .