Задачи для самостоятельного решения. Задача 1. Провести аппроксимацию нормального распределения с параметрами m, s с помощью суммы n независимых случайных чисел (равномерно распределенных в

Задача 1. Провести аппроксимацию нормального распределения с параметрами m, s с помощью суммы n независимых случайных чисел (равномерно распределенных в интервале (0, 1)).

Задача 2. Показать, что для распределения Пуассона верно приближенное равенство:

a^k exp(- a)/ k!» Ф((k+0,5- а)/ а ^0,5) - Ф((k -0,5- а)/ а ^0,5)

Задача 3. Провести аппроксимацию нормального распределения с параметрами m, s с помощью закона распределения Эрланга n -го порядка с параметром l.

Задача 4. Железнодорожный состав содержит n ₁ вагонов, n ₂ платформ, n ₃ цистерн. Вес вагонов имеет математическое ожидание m ₁ и дисперсию D ₁, вес платформы имеет математическое ожидание m ₂ и дисперсию D ₂, вес цистерны имеет математическое ожидание m ₃ и дисперсию D ₃. Величины n ₁, n ₂, n ₃, D ₁, D ₂, D ₃ имеют один и тот же порядок, причем величины n_i достаточно велики. Найти вероятность того, что вес состава превысит значение q.

Задача 5. Железнодорожный состав содержит n вагонов, вес каждого вагона – случайная величина с математическим ожиданием m и средним квадратическим отклонением s. Число вагонов большое (несколько десятков). Локомотив может везти вес не более q тонн. Если вес состава более q тонн, приходится прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что одного локомотива не хватит для перевозки состава.

Задача 6. Система состоит из n идентичных технических устройств. Каждое ТУ имеет экспоненциальное распределение времени до отказа с параметром l. В каждый момент времени работает только одно ТУ. В случае его отказа происходит мгновенное и безотказное переключение на следующее по порядку ТУ. Найти вероятность того, что система может проработать время не менее t. Рассмотреть варианты, когда n < 20 и n > 20.

Задача 7. Случайная величина Х распределена по закону c²(200). Используя асимптотическую нормальность Х, оценить вероятность события А ={Х ³ 250}.

Задача 8. При испытаниях измерительного прибора производится n независимых измерений постоянной величины a. Найти условия, при которых выборочное среднее значение

n

S_n ² = S (X_k - a)²/ n

k =1

можно принять в качестве приближенного значения дисперсии ошибок.

Задача 9. Среднее число вызовов на АТС за 1 мин равно 20. Найти вероятности следующих событий: А ={Х ³ 20}, B ={30 >Х ³ 20}.

Задача 10. Вероятность появления события А в одном опыте равна 0,5. Можно ли с вероятностью не менее 0,97 утверждать, что число появлений события А в 1000 независимых опытах будет находиться в пределах от 400 до 600.

Задача 11. Станок с числовым программным управлением выдает за смену 1000 изделий, из которых в среднем 2% дефектных. Найти вероятность того, что за смену будет изготовлено не менее 970 изделий.

Задача 12. Вероятность появления события при одном опыте равна 0,3. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах от 0,2 до 0,4?

Задача 13. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?

Задача 14. Сколько надо произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,9 утверждать, что частота интересующего нас события будет отличаться от вероятности появления этого события, равной 0,4, не более чем на 0,1?

Задача 15. Вероятность появления некоторого события в одном опыте равна 0,6. Какова вероятность того, что событие появится в большинстве из 60 опытов?

Задача 16. Отклонение частоты случайного события в n опытах от его вероятности не превышает 0,0029. Найти число опытов, при котором с вероятностью не менее 0,5 подобное отклонение имеет место.