Задачи для самостоятельного решения. Задача 1. Отказ прибора произошел при k-ом испытании

Задача 1. Отказ прибора произошел при k-ом испытании. Найти МП-оценку вероятности отказа р при одном испытании и математическое ожидание оценки, Является ли оценка несмещенной?

Задача 2. Вероятность того, что событие А произойдет в m-ый раз при n-ом испытании, задается распределением Паскаля:

P_n = C^{m -1} _{n -1} p^m (1- p) ^n-m, n=m, m +1, m +2,…

Найти МП-оценку параметра р.

Задача 3. Используя метод моментов, найти точечную оценку параметра k – числа степеней свободы хи-квадрат распределения по полной выборке с независимыми элементами.

Задача 4. Испытания 10 приборов проводились до двух отказов каждого. Суммарная наработка всех приборов составила 24000 час. Оценить среднее время безотказной работы одного прибора, если известно, что закон распределения случайного времени до отказа экспоненциальный.

Задача 5. За первые 10000 час наблюдения за 500 генераторами постоянного тока (ГПТ) отказало 12 из них в моменты: 80, 120, 180, 600, 680, 2100, 3200, 4300, 5000, 6800, 7800, 9300 час. Считая распределение времени до отказа экспоненциальным, найти МП-оценку среднего времени наработки ГПТ до отказа.

Задача 6. Независимые случайные величины Х₁, Х₂,…,Х_n имеют распределение Пуассона с параметром a. В эксперименте вектор принял значение (х_1, х₂,…,х_n). найти МП-оценку параметра a распределения. Исследовать несмещенность и эффективность.

Задача 7. Наблюдения за простейшим потоком автолюбителей, въезжающих на АЗС, показало, что за n часов заправилось х машин. Найти МП-оценку параметра потока и исследовать состоятельность, несмещенность и эффективность.

Задача 8. При помощи n различных приборов измерены n значений случайной величины Х. В предположении, что Х имеет нормальное распределение с матожиданием m, а дисперсия i -го измерения равна s_i², найти МП-оценку для m. Показать, что оценка несмещенная, вычислить дисперсию.

Задача 9. Используя метод моментов, найти точечные оценки параметров распределения Вейбулла по простой случайной выборке.

Задача 10. Показать, что объединенные оценки мат. ожидания и дисперсии, полученные по двум независимым выборкам объемов n ₁ и n ₂ из одной генеральной совокупности, вычисленные по формулам:

X ^* = (n ₁ X ₁ + n ₂ X ₂)/(n ₁+ n ₂), s ² = ((n ₁-1) s ₁²+(n ₂-1) s ₂²)/(n ₁+ n ₂-2),

Являются несмещенными и состоятельными. Здесь:

n ₁ n ₁+ n ₂ n ₁ n ₁+ n ₂

X ₁= (S x_i)/ n ₁, X ₁= (S x_i)/ n ₂, s ₁²= (S (x_i - X ₁)² )/(n ₁-1), s ₂²= (S (x_i - X ₂)²))/(n ₂-1).

i =1 i = n ₁+1 i =1 i = n ₁+1

Задача 11. Пусть q^* является несмещенной и состоятельной оценкой параметра q. Показать, что квадрат оценки (q^*)² будет уже смещенной оценкой квадрата параметра q².

Задача 12. Пусть q^2* является несмещенной и состоятельной оценкой квадрата параметра q². Показать, что q^* = (q^2*)^0,5 будет уже смещенной оценкой параметра q.

Задача 13. Пусть Т – число испытаний до m -го появления случайного события А в однородных испытаниях Бернулли. Эта случайная величина имеет распределение Паскаля:

.

Найти МП-оценку параметра р и исследовать ее на смещенность.