Задачи для самостоятельного решения. Задача 1.Случайная величина имеет плотность распределения

Задача 1. Случайная величина имеет плотность распределения

f (x) = x^a exp(- x)/ a!, x ³ 0.

Доказать справедливость неравенства:

P (0< X <2(a +1))> a /(a +1).

Задача 2. При испытаниях измерительного прибора производится n независимых измерений постоянной величины a. Найти условия, при которых выборочное среднее значение

n

S_n ² = S (X_k - a)²/ n

k =1

можно принять в качестве приближенного значения дисперсии ошибок.

Задача 3. Доказать, что если M (exp(aX)) существует, то

P (X > e)£ exp(- a e) M (exp(aX)), a > 0.

Задача 4. Найти вероятность выхода случайной величины с биномиальным распределением за (3s) –е пределы.

Задача 5. Вероятность некоторого события определяется методом Монте-Карло определить число независимых опытов, обеспечивающих с вероятностью не менее 0,99 получение искомой вероятности с ошибкой не более 0,01. Оценку провести на основе неравенства Чебышева и теоремы Муавра-Лапласа.

Задача 6. Определить, имеет ли место закон больших чисел для среднего арифметического попарно независимых случайных величин X_k с распределением:

xk
pk	0,25	0,5	0,25

Задача 7. Установить, будут ли выполнены достаточные условия применения закона больших чисел для последовательности с распределением:

P (X_k = ±2 ^k) = 0,5.

Задача 8. Установить, будут ли выполнены достаточные условия применения закона больших числе для последовательности с распределением:

P (X_k = ±2 ^k) = 2^{-2 k -1}, P (X_k = 0) = 1 – 2^{-2 k} .

Задача 9. Установить, будут ли выполнены достаточные условия применения закона больших числе для последовательности с распределением:

P (X_k = ± k) = 1/(2k), P (X_k = 0) = 1 – 1/ k.

Задача 10. Элементы случайной последовательности X_k имеют одинаковые математические ожидания и ограниченные дисперсии. Все корреляционные моменты отрицательны. Применим ли к последовательности закон больших чисел?

Задача 11*. Вероятность появления события А в одном опыте равна 0,5. Можно ли с вероятностью не менее 0,97 утверждать, что число появлений события А в 1000 независимых опытах будет находиться в пределах от 400 до 600.

Задача 12. Суточный расход электроэнергии для личных нужд населения в населенном пункте составляет 4000 кВт-ч. Оценить возможность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в населенном пункте не превысит 10000кВт-ч.

Задача 13. Некоторый период времени на бирже сохранялся относительно стабильный курс валюты. На основе биржевой статистики за этот период составлена таблица возможного курса изменения курса валюты.

Изменения курса в %	- 1	- 0,5		0,5
Вероятность изменения	0,1	0,3	0,5	0,05	0,05

Оценить вероятность того, что на ближайших торгах изменение курса валюты будет не более 0,6%. Сделать точную оценку и с помощью неравенства Чебышева.

Задача 14. Элементы последовательности независимых случайных величин имеют распределения:

xn
pn	1/(2n)	1 – 1/n	1/(2n)

Применим ли к последовательности закон больших числе?

Задача 15. Вероятность того, что при опускании одного жетона приемник автомата сработает правильно, равна 0,95. Найти минимальное число жетонов, при опускании которых в игральный автомат частота правильной работы автомата будет в пределах 0,93…0,97, с вероятностью не менее 0,93. Использовать неравенство Чебышева.

Задача 16. Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина Х – проекция скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события А = {Х ³ 80 км/час}, если путем многолетних наблюдений установлено, что среднее значение этой проекции равно 16 км/час.

Вариант 17. Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина Х – проекция скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события А = {Х ³ 80 км/час}, если путем многолетних наблюдений установлено, что среднее значение этой проекции равно 26 км/час, а среднеквадратическое отклонение случайной величины равно 4 км/час.

Вариант 18. Число солнечных дней в году на данной местности является случайной величиной со средним значением 100 дней в году и среднеквадратическим отклонением 20 дней. Оценить вероятность событий: А = {Х ³ 150 дней}, В = {Х ³ 200 дней }.

Задача 19. Элементы последовательности независимых случайных величин имеют распределения:

xn	na		- na
pn	1/(2n2)	1 – 1/n	1/(2n2)

Применим ли к последовательности закон больших чисел?

Задача 20. Элементы последовательности независимых случайных величин имеют распределения:

xn	na		- na
pn	1/(2n)	1 – 1/2n-1	1/(2n)

Применим ли к последовательности закон больших чисел?

Задача 21. Элементы последовательности независимых случайных величин имеют распределения:

xn
pn	0,5	0,5

Применим ли к последовательности закон больших чисел?

Задача 22. Применим ли закон больших чисел к последовательности, задаваемой рядом распределения:

- функция Римана.

Задача 23. Средний расход воды в населенном пункте составляет 50000 л/день. Определить вероятность того, что расход воды в данный день не превысит 150000 л/день, если известно, что среднеквадратическое отклонение равно 40000 л/день.

Задача 24*. Отклонение частоты случайного события в n опытах от его вероятности не превышает 0,0029. Найти число опытов, при котором с вероятностью не менее 0,5 подобное отклонение имеет место.