Графики тригонометрических функций

 

При рассмотрении графиков тригонометрических функций предполагается, что числовой аргумент представляет угол, измеренный в радианах.

Соответствие, при котором каждому действительному числу х сопоставляется синус этого числа, называют функцией синус и обозначают

Свойства функции приведены в табл. 4.

Графиком функции является кривая, называемая синусоидой (рис. 7).

 

Рис. 7

 

Соответствие, при котором каждому действительному числу х сопоставляется косинус этого числа, называют функцией косинус и обозначают

Свойства функции приведены в табл..

Графиком функции является кривая, называемая косинусоидой (рис. 8).

 

Рис. 8

 

 

Соответствие, при котором каждому действительному числу сопоставляется тангенс этого числа, называется функцией тангенс и обозначается

Свойства функции приведены в табл. 4.

Графиком функции является кривая, называемая тангенсоидой (рис. 9).

 

 

Рис. 9

 

Соответствие, при котором каждому действительному числу сопоставляется котангенс этого числа, называется функцией котангенс и обозначается

Свойства функции приведены в табл. 4.

График функции приведен на рис. 10.

 

Рис. 10

 

Т а б л и ц а 4

 

Свойства функции	Функция
1. Область определения функции	R	R
2. Область значений функции			R	R
3. Четность / нечетность	нечетная	четная	нечетная	нечетная
4. Наименьший положительный период
5. Координаты точек пересечения графика: с осью O x;
c осью O y	(0;0)	(0;1)	(0;0)	нет
6. Промежутки возрастания функции				нет
7.Промежутки убывания функции			нет
8. Экстремумы функций: точки минимума			нет	нет
минимум функции	-1	-1	нет	нет
точки максимума			нет	нет
максимум функции			нет	нет
9. Промежутки знакопостоянства функции: промежутки, на которых функция принимает положительные значения
промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения

 

Пример 1. Найти область определения функции

Решение. Должно выполняться х Î Z, т.е.

Таким образом, D (у): ,

Пример 2. Найти область значений функции

Решение. Используя формулу двойного угла для синуса, получим Так как функция ограничена, то тогда и Таким образом,

Пример 3. Выяснить, является ли функция четной или нечетной

Решение. Функцию можно исследовать на четность или нечетность, если область определения функции является симметричным относительно нуля множеством и выполняется одно из равенств. В данном случае D (у)= - симметричное относительно нуля множество. Рассмотрим В силу четности косинуса и нечетности синуса, получим

Таким образом, выполняется Значит, данная функция является нечетной.

Пример 4. Сравнить числа и

Решение. Используем свойство монотонности функции на определенных промежутках. Углы и принадлежат отрезку на котором функция убывает, и при этом > Используя свойство убывающей функции, по которому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, приходим к ответу:

Пример 5. Найти наименьший положительный период функции

Решение. Преобразуем

Используя формулы двойного аргумента и основное тригонометрическое тождество, получим функцию график которой получается из графика функции с периодом Воспользуемся правилом нахождения периода Т' функции, полученной путем некоторых преобразований периодической функции с периодом : .

Таким образом, наименьший положительный период функции а значит и функции равен

Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение. Используем формулу приведения и формулу преобразования суммы функций в произведение:

Так то

Таким образом, а

Пример 7. Построить график функции

Решение. Для построения будем использовать правила преобразования графика элементарной функции параллельный перенос вдоль осей О х и О у, сжатие и растяжение графика функции.

Рассмотрим последовательность преобразований, позволяющих из графика функции получить график функции Для начала преобразуем данную функцию следующим образом:

Выполним построение поэтапно.

1. График функции может быть получен из графика путем растяжения вдоль оси О у в 2 раза (рис. 11).

 

 

Рис. 11

 

2. График функции может быть получен из графика функции путем сжатия вдоль оси О х в 2 раза (рис. 12);

 

 

 

Рис. 12

 

3. График функции может быть получен из графика путем параллельного переноса вдоль оси О х на единиц вправо (рис. 13);

 

 

Рис. 13

 

4. График получаем из графика путем параллельного переноса вдоль оси О у на 3 единицы вверх (рис. 14).

 

Рис. 14