Основные тригонометрические формулы

 

Всюду далее считаем, что выражения определены на своей ОДЗ.

 

Формулы суммы и разности углов

(8)

Формулы двойных и тройных углов

(9)

(10)

Формулы половинного аргумента:

(11)

Формулы понижения степени:

, ,

, . (12)

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

(13)

Формулы произведения тригонометрических функций

(14)

Универсальная подстановка

(15)

Пример 1. Упростить выражение

Решение. Используя формулы (7) – (9), получаем:

Пример 2. Вычислить

Решение. Чтобы применить формулы (12), преобразуем по формулам приведения:

.

Тогда

Пример 3. Вычислить если

Решение. Используя универсальную подстановку, получим:

Подставив в полученное выражение находим:

Пример 4. Преобразовать в произведение:

Решение. Для решения можно использовать формулу понижения степени и формулы суммы и разности тригонометрических функций (формулы (13)).

Пример 5. Найти значение выражения:

1)

2)

Решение. 1) Для применения формулы двойного аргумента , умножим и разделим это выражение на Получим:

Используя формулы приведения, преобразуем

Тогда получим

 

2) Из формул приведения следует

Отсюда, используя формулы (8), имеем:

 

Задания для самостоятельного решения

 

I уровень

 

1.1. Вычислите

1) если и

2) если и

3) если

4) если ,

5)

6) если

7) если

8) если

9)

10)

1.2. Упростите выражение:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

1.3. Докажите тождество:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

1.4. Вычислите:

1)

2)

1.5. Упростите выражение:

1)

2)

 

1.6. Проверьте справедливость равенства

1)

2)

1.7. Вычислите:

1)

2)

1.8. Преобразуйте в произведение

1)

2)

3)

4)

5)

1.9. Представьте в виде суммы тригонометрических функций:

1)

2)

1.10. Упростите выражение:

1)

2)

3)

4)

5)

II уровень

 

2.1. Вычислите:

1) если

2) если

3) если

4) если

5) если

2.2. Упростите выражение:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

 

 

2.3. Докажите тождество:

1)

2)

3)

4)

5)

2.4. Вычислите:

1)

2)

3)

4)

5)

2.5. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения:

1) 2)

3) 4)

2.6. Докажите, что если

2.7. Преобразуйте в произведение:

1) 2)

3)

2.8. Вычислите:

1) 2)

2.9. Докажите тождество:

1)

2)

3)

4)

5)

2.10. Упростите выражение:

1)

2) 3)

4) 5)

 

III уровень

 

3.1. Вычислите:

1) если

2) если

3)

4)

5)

3.2. Упростите выражение:

1) где

2)

3)

4)

5)

3.3. Докажите тождество:

1)

2)

3)

3.4. Вычислите:

1) если

2)

3) , если .

3.5. Докажите тождество:

1) 2)

3.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) 2)

3)

3.7. Определите, рациональным или иррациональным числом является если известно, что

3.8. Преобразуйте в произведение:

3.9. Вычислите:

1)

2)

3.10. Докажите тождество:

3.11. Упростите выражение:

1)

2)

3)

4)

5)

6)