Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

Существует внутренний критерий сходимости последовательности исходя из величины элементов. Для формулировки этого критерия введем понятие фундаментальной последовательности.

Определение

Последовательность называется фундаментальной, если , такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию и для всех натуральных чисел p (p=1,2,…) справедливо неравенство

Теорема 1

Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы нижний и верхний пределы ее совпадали, то есть

Теорема 2 (важное свойство фундаментальной последовательности)

Для фундаментальной последовательности, - окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N.

Другими словами, вне интервала находится не более чем конечное число элементов последовательности.

Отмеченное свойство позволяет установить ограниченность фундаментальной последовательности.

Пусть и - элемент, в - окрестности которого находятся все элементы, начиная с номера N. Тогда вне этой - окрестности могут находиться только элементы . Положим . Тогда на сегменте [-A,A] находятся числа , а следовательно, и все точки - окрестности числа . Отсюда вытекает, что все элементы фундаментальной последовательности находятся на сегменте [-A,A], что и означает ее ограниченность.

Теорема. Критерий Коши сходимости последовательности.

Для того, чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство

Необходимость

Пусть - сходящаяся, и х – ее предел. Требуется доказать, что эта последовательность фундаментальная.

Возьмем . Из определения сходимости последовательности вытекает, что для , такой, что при выполняется неравенство . Если , то при выполняется также и неравенство . Из последних неравенств получаем

. Фундаментальность установлена.

Достаточность

Пусть - фундаментальная последовательность. Требуется доказать, что эта последовательность сходится. Для этого достаточно доказать ограниченность и равенство ее верхнего и нижнего пределов и . Ограниченность фундаментальной последовательности уже была установлена выше. Для доказательства равенства пределов воспользуемся рассмотренным ранее свойством фундаментальной последовательности: Для фундаментальной последовательности, в - окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N.

Другими словами, вне интервала находится не более чем конечное число элементов последовательности.

На основании теоремы: (у всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка и следствия из данной теоремы) интервал содержит интервал , и поэтому , откуда в силу произвольности . Тем самым сходимость установлена и теорема доказана.