Свойства сходящихся последовательностей

Лекция 2. Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности. Основные теоремы.

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство

Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности . Используя формулу (2) можно записать и , где , - бесконечно малые последовательности. Вычитая, получим Так как, все элементы последовательности имеют одно и тоже значение b-a, то по теореме 5 (см. ранее) b-a=0 и b=a. Теорема доказана.

Теорема 2

Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство

Пусть последовательность сходящаяся и а – ее предел. Имеет место формула , - бесконечно малая последовательность. Так как бесконечно малая последовательность - ограничена (теорема 3), то справедливо . Поэтому для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности .

Замечание

Ограниченная последовательность может быть и не сходящейся.

Например

1,-1,1,-1,… - ограничена, но не сходящаяся. Если бы последовательность сходилась, то и - бесконечно малые последовательности и была бы бесконечно малой последовательностью, но

Теорема 3

Сумма сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей и .

Доказательство

Пусть и . Тогда и , соответственно . Таким образом, последовательность - бесконечно малая, и поэтому последовательность сходится и имеет своим пределом a+b.

Теорема 4

Разность сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей и . Доказательство аналогичное.

Теорема 5

Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .

Доказательство

Пусть и . Тогда и , соответственно

. Но в силу теоремы 4 (для бесконечно малых последовательностей, следствия из него и теоремы 1) - бесконечно малая последовательность. То есть сходится и ее предел - ab.

Лемма

Если последовательность сходится, то есть , то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

Доказательство

Пусть . Так как . Пусть N – номер, соответствующий этому , начиная с которого выполняется неравенство . Из этого неравенства следует, что при выполняется неравенство . Действительно

Поэтому, при имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, можно рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.

 

Теорема 6

Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от 0, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .

Доказательство

Из леммы следует, что, начиная с некоторого номера N элементы не равны 0 и последовательность - ограничена. Начиная с этого номера, рассмотрим последовательность . Пусть и .

Докажем, что - бесконечно малая последовательность. Так как и ,

то . Так как - ограничена, а последовательность - бесконечно малая, то последовательность - бесконечно малая, то есть . Теорема доказана.