Другие преобразования матриц.

Мы будем рассматривать два типа преобразования матриц: транспонирование и расчленение. При транспонировании строки матрицы становятся ее столбцами с тем же самым номером. В случае квадратных матриц можно сказать, что транспонирование есть поворот матрицы около главной диагонали. Транспонированная матрица обозначается .

Операция транспонирования имеет свои свойства и следствия.

1. Транспонирование является рефлексивным. Это значит, что транспонирование транспонированной матрицы дает исходную матрицу.

2. Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

3. Транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

При расчленении матрица большого размера представляется как матрица, состоящая из некоторого количества матриц меньшего размера. Рассмотрим матрицу А= . Введем следующие подматрицы:

, ,

Таким образом, матрицу А можно представить как:

Пример 2. Некоторая компания в обрабатывающей промышленности располагает данными о своих продажах на протяжении года, сгруппированными по видам изготовляемой продукции и районам сбыта. В таблице представлено распределение трех видов продукции по трем районам.

 

Виды продукции	Районы продаж

 

Перепишем содержание таблицы в форме матрицы порядка 3 х 3.

Аналогичные данные, относящиеся к следующему году, можно записать в том же порядке с помощью матрицы В

.

Тогда общее число единиц продукции вида 1, проданной в районе 1 на протяжении рассматриваемых двух лет, равно сумме элементов, расположенных в каждой матрице на пересечении первой строки и первого столбца 98+55=153. Общее число единиц продукции вида 3, проданной в районе 2 за тот же период, равно 15+40=55. Матрица, составленная путем сложения всех указанных величин, будет тогда иметь вид:

Элементы этой матрицы характеризуют объем продаж различных видов продукции в каждой области на протяжении двух лет.

Пример 3. Пусть существует компания, осуществляющая различные виды продажи товаров. Она имеет разные отделения. В таблице приведены данные о продажах товаров по каждому из отделений.

Отделение	Виды продукта и его цена
Вид 1 (1 доллар)	Вид 2 (2 доллара)	Вид 3 (3 доллара)
Розничные продажи	Продано единиц
Продажи другим фирмам
Продажи за рубежом

 

Содержание этой таблицы можно записать в виде матрицы

 

Выручка от продаж по отделениям

 

Отделение	Выручка от продаж
Розничные продажи	58*1+26*2+8*3=134
Продажи другим фирмам	52*1+58*2+12*3=204
Продажи за рубежом	1*1+3*2+9*3=34

 

Взглянув на эту таблицу легко заметить, что столбец «Выручка от продаж» легко получить как результат произведения матрицы А на матрицу

Такие матрицы, размера , еще называются вектор - столбцом. Матрицы, размера называются вектор –строкой.

Пример 4. Умножение матрицы на матрицу. Эту операцию можно представить как многократное умножение матрицы на векторы.

 

Упражнения.

 

Выполнить действия с матрицами.

1. , найти 3А+2B.

2. .

3. .

4. , найти 3А²-4Е.

5. , найти А²-3А+Е.

6.

7. , найти АВ-ВА.

8. , найти АВ и ВА.

9. , найти АВ и ВА.

10. .

11. .

12. , найти А=(В+2С)(В-2Е).

13. , найти АВ-ВА.

14. , найти 3А²-2А+5Е.

15. , найти А³-7А²+13А-5Е.

Ответы: 1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. , ВА =13. 9. , . 10. . 11. . 12. .

13. . 14. 15. .