Основные арифметические действия с матрицами.

Лекция 1. Матрицы. Основные арифметические действия с матрицами. Некоторые другие преобразования матриц.

 

Матрицей размера называется прямоугольная таблица,

состоящая из m строк и n столбцов, элементы которой принадлежат некоторому множеству К (i – номер строки, j – номер столбца). Мы будем рассматривать множество действительных чисел в качестве множества К. Возможны другие обозначения матрицы

Матрицы A, B одинаковых размеров с элементами , называются равными если = для i = 1,2 …n, j = 1,2 …m. Равенство матриц обозначается символом A=B.

Матрицы, у которых число столбцов равно числу строк называются квадратными. Общее число строк или столбцов матрицы называется порядком квадратной матрицы. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, проходящая через верхний левый и нижний правый углы, т.е. совокупность элементов вида , где i = 1, 2 …,n.

Единичной матрицей Е называется квадратная матрица, у которой элементы . Она имеет вид: .

Эта матрица играет роль единицы в операции умножения матриц АЕ=ЕА=А.

Нулевой матрицей О называется матрица, все элементы которой равны нулю.

 

Некоторые виды матриц.

1) треугольные матрицы – это матрицы, у которых все элементы, расположенные под или над главной диагональю равны нулю.

2) диагональной, называется матрица, у которой на главной диагонали есть элементы не равные нулю, все остальные элементы матрицы равны нулю.

3) симметричной называется квадратная матрица, у которой элементы . (Другими словами, это квадратная матрица, в которой все элементы расположены симметрично относительно главной диагонали)

 

Абсолютная величина и норма матрицы.

Под абсолютной величиной (модулем) матрицы понимается матрица , где все элементы - модули элементов матрицы A.

Пусть А и В матрицы, для которых операции А+В и АВ имеют смысл. Тогда

1. .

2. .

3. .

Под нормой матрицы понимается действительное число , удовлетворяющее следующим условиям:

1. тогда и только тогда, когда А=0.

2.

3.

4.

5. , где А и В матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл.

Норму матрицы можно определить по-разному. Для матрицы произвольного размера рассмотрим три следующие легко вычисляемые нормы:

- максимальная сумма модулей элементов матрицы по строкам.

- максимальная сумма модулей элементов матрицы по столбцам.

- корень квадратный из суммы квадратов модулей всех элементов матрицы.

Пример 1. Для матрицы

Вычислить все вышеперечисленные нормы матрицы.

Основные арифметические действия с матрицами.

Суммой двух матриц A и B одинаковых размеров с элементами , называется матрица С тех же размеров с элементами , если для i = 1,2 …n, j = 1,2 …m. Сумма матриц обозначается символом С=A+B.

Разностью двух матриц A и B одинаковых размеров с элементами , называется матрица С тех же размеров с элементами , если

для i = 1,2 …n, j = 1,2 …m. Разность матриц обозначается символом С=A-B.

Произведением матрицы A размеров с элементами на число называется матрица С тех же размеров с элементами , если = для i = 1,2 …n, j = 1,2 …m. Произведение матрицы на число обозначается символом С= A.

Произведением матрицы A размеров n m c элементами и матрицы B размеров m p с элементами и, называется матрица С размеров n p с элементами , если , для i = 1,2 …n, j = 1,2 …p. Произведение матриц обозначается символом С=AB.

Таким образом, произведение определено лишь для тех матриц, у которых число столбцов левого сомножителя равно числу строк правого сомножителя. Такие матрицы называют согласованными. Элемент матрицы произведения, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца, равен сумме произведений всех элементов i-ой строки левого сомножителя на соответствующие элементы j-го столбца правого сомножителя.

Следствием этого правила является тот факт, что произведение существует только в том случае, если матрица А – квадратная. Матрица называется n-ой степенью матрицы A.

Другое следствие этого правила: произведения АВ и ВА существуют во всех тех случаях, когда А и В представляют собой квадратные матрицы одинакового порядка. О произведении АВ двух матриц А и В будем говорить, что матрица В умножается на матрицу А слева или что матрица А умножается на матрицу В справа. Произведение нескольких матриц АВС следует понимать так: матрица А умножается справа на матрицу В, а полученная матрица умножается на матрицу С справа. В общем случае умножение матриц не коммутативно, другими словами АВ не всегда равно ВА. Несоблюдение закона коммутативности при умножении матриц можно продемонстрировать с помощью следующего примера:

В отдельных же случаях матрицы АВ и ВА равны:

Любая матрица А, умноженная слева или справа на нулевую матрицу соответствующего размера, дает нулевую матрицу,